Лаборатория знанийАлгебра и геометрия
К программе 10 класса
Алгебра10 классУглублённый уровень 15–20 минут3 задания

Бином Ньютона и степень с действительным показателем

Алгебраические выражения позволяют записывать общие закономерности и выполнять преобразования без подстановки конкретных чисел.

Главная идея

Что нужно понять

Многочлен — сумма одночленов. Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть и могут быть объединены.

Тождественные преобразования меняют форму записи, но не значение выражения при всех допустимых значениях переменных.

Бином Ньютона раскладывает (a + b)ⁿ в сумму членов Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ. Степень a уменьшается, степень b увеличивается, а сумма показателей в каждом члене остаётся равной n.

Коэффициент Cₙᵏ показывает число способов выбрать k позиций из n и вычисляется как n!/(k!(n−k)!).

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Тождества сокращённого умножения получаются обычным раскрытием скобок, но записывают часто встречающиеся схемы короче. Теорема Безу связывает деление многочлена на x − a с простым вычислением его значения P(a).

Опорная формула

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
Формула словами

Квадрат суммы равен квадрату первого слагаемого плюс удвоенное произведение слагаемых плюс квадрат второго слагаемого.

Квадрат суммы — одна из основных формул сокращённого умножения.

Расшифровка

Обозначения и термины

P(x)
многочлен от переменной x
deg P
наибольшая степень с ненулевым коэффициентом
P(a) = 0
число a является корнем многочлена
x − a
делитель многочлена, если a — его корень

Алгоритм

Как решать задачи

  1. определить структуру выражения
  2. раскрыть скобки или разложить на множители
  3. привести подобные слагаемые

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Раскройте скобки: (x + 3)².

  1. Используем квадрат суммы a² + 2ab + b².
  2. Получаем x² + 2 · x · 3 + 9.

Ответ: x² + 6x + 9

Пример 2

Разложите x² − 9 на множители.

  1. Это разность квадратов: x² − 3².
  2. Применяем a² − b² = (a − b)(a + b).

Ответ: (x − 3)(x + 3)

Самопроверка

Типичные ошибки

  • забывать удвоенное произведение
  • складывать показатели при сложении
  • сокращать слагаемые вместо множителей

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1

    Какие слагаемые называют подобными?

  2. Задание 2

    С какого действия разумно начать работу по теме «Бином Ньютона и степень с действительным показателем»?

  3. Задание 3

    Раскройте скобки: (x + 3)².