Многочлены и теорема Безу
Алгебраические выражения позволяют записывать общие закономерности и выполнять преобразования без подстановки конкретных чисел.
Главная идея
Что нужно понять
Многочлен — сумма одночленов. Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть и могут быть объединены.
Тождественные преобразования меняют форму записи, но не значение выражения при всех допустимых значениях переменных.
По теореме Безу остаток от деления P(x) на x − a равен P(a). Поэтому вместо длинного деления достаточно подставить a; если P(a) = 0, выражение x − a является множителем.
После нахождения одного корня многочлен делят на соответствующий линейный множитель и получают уравнение меньшей степени.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Тождества сокращённого умножения получаются обычным раскрытием скобок, но записывают часто встречающиеся схемы короче. Теорема Безу связывает деление многочлена на x − a с простым вычислением его значения P(a).
Опорная формула
Квадрат суммы равен квадрату первого слагаемого плюс удвоенное произведение слагаемых плюс квадрат второго слагаемого.
Квадрат суммы — одна из основных формул сокращённого умножения.Расшифровка
Обозначения и термины
- P(x)
- многочлен от переменной x
- deg P
- наибольшая степень с ненулевым коэффициентом
- P(a) = 0
- число a является корнем многочлена
- x − a
- делитель многочлена, если a — его корень
Алгоритм
Как решать задачи
- определить структуру выражения
- раскрыть скобки или разложить на множители
- привести подобные слагаемые
От простого к сложному
Подробные примеры
Раскройте скобки: (x + 3)².
- Используем квадрат суммы a² + 2ab + b².
- Получаем x² + 2 · x · 3 + 9.
Ответ: x² + 6x + 9
Разложите x² − 9 на множители.
- Это разность квадратов: x² − 3².
- Применяем a² − b² = (a − b)(a + b).
Ответ: (x − 3)(x + 3)
Самопроверка
Типичные ошибки
- забывать удвоенное произведение
- складывать показатели при сложении
- сокращать слагаемые вместо множителей
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Какие слагаемые называют подобными?
С какого действия разумно начать работу по теме «Многочлены и теорема Безу»?
Раскройте скобки: (x + 3)².