Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
Логарифм отвечает на вопрос, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить заданное число.
Главная идея
Что нужно понять
Равенство logₐb = c означает aᶜ = b; при этом a > 0, a ≠ 1 и b > 0.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов, а логарифм степени позволяет вынести показатель множителем.
В теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства» важно научиться узнавать задачу по её условиям, выбирать подходящее правило и связывать символическую запись с числовым или геометрическим смыслом. Опорная идея темы такова: Логарифм отвечает на вопрос, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить заданное число.
Полное решение на уровне 11 класса включает запись исходных данных, обоснование выбранного способа, последовательные вычисления, проверку ограничений и ответ на вопрос задачи. Ниже этот порядок показан на двух примерах.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Логарифм отвечает на вопрос о показателе степени. Поэтому произведение внутри логарифма превращается в сумму показателей, а степень — в множитель перед логарифмом. Все преобразования требуют положительного аргумента.
Опорная формула
Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей при одном и том же допустимом основании.
Свойство логарифма произведения.Расшифровка
Обозначения и термины
- logₐ b
- степень, в которую нужно возвести a, чтобы получить b
- a
- основание: a > 0 и a ≠ 1
- b
- аргумент: b > 0
- ln x
- логарифм по основанию e
Алгоритм
Как решать задачи
- проверить область допустимых значений
- привести выражения к одному основанию
- решить полученное уравнение и проверить корни
От простого к сложному
Подробные примеры
Решите log₂x = 3.
- Перейдём к показательной форме: x = 2³.
- Условие x > 0 выполнено.
Ответ: 8
Решите log₂(x − 1) = 3.
- ОДЗ: x − 1 > 0, то есть x > 1.
- Переходим к степени: x − 1 = 2³ = 8.
- x = 9 удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 9
Самопроверка
Типичные ошибки
- забывать условие положительности аргумента
- раскладывать логарифм суммы как сумму логарифмов
- использовать основание 1
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Какое обязательное условие выполняется для аргумента логарифма?
С какого действия разумно начать работу по теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»?
Решите log₂x = 3.