Лаборатория знанийАлгебра и геометрия
К программе 11 класса
Алгебра11 класс 15–20 минут3 задания

Прикладные задачи на оптимизацию

Производная показывает мгновенную скорость изменения функции и помогает исследовать её поведение.

Главная идея

Что нужно понять

Производная в точке — предел отношения приращения функции к приращению аргумента; геометрически это угловой коэффициент касательной.

Знак производной определяет промежутки возрастания и убывания, а критические точки дают кандидатов на экстремум.

Сначала выбирают переменную и выражают через неё целевую величину. Затем обязательно находят допустимый промежуток из смысла задачи, исследуют производную и сравнивают значения в критических точках и на границах.

Ответом является не только найденное значение x, но и требуемая в условии максимальная или минимальная величина с единицами измерения.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Средняя скорость на отрезке равна отношению приращений. Если стягивать отрезок к одной точке, секущая превращается в касательную, а средняя скорость — в мгновенную. Так предел отношения приращений даёт производную.

Опорная формула

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Формула словами

Производная f в точке x — это предел отношения изменения функции к изменению аргумента, когда это изменение стремится к нулю.

Определение производной функции.

Расшифровка

Обозначения и термины

f′(x)
производная функции в точке x
Δx
приращение аргумента
Δf
соответствующее приращение функции
f′(x) = 0
условие для внутренней критической точки

Алгоритм

Как решать задачи

  1. найти область определения
  2. вычислить производную и критические точки
  3. исследовать знак производной

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите минимум функции f(x) = x² − 4x + 7.

  1. f′(x) = 2x − 4, поэтому критическая точка x = 2.
  2. Парабола направлена вверх; f(2) = 4 − 8 + 7.

Ответ: Минимум равен 3 при x = 2

Пример 2

Исследуйте возрастание функции f(x) = x² − 6x.

  1. f′(x) = 2x − 6.
  2. Производная отрицательна при x < 3 и положительна при x > 3.
  3. Знак меняется с минуса на плюс.

Ответ: Убывает до x = 3, затем возрастает; минимум при x = 3

Самопроверка

Типичные ошибки

  • приравнивать к нулю саму функцию вместо производной
  • не проверять концы отрезка
  • считать каждую критическую точку максимумом

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1

    Что геометрически показывает производная в точке?

  2. Задание 2

    С какого действия разумно начать работу по теме «Прикладные задачи на оптимизацию»?

  3. Задание 3

    Найдите минимум функции f(x) = x² − 4x + 7.