Лаборатория знанийАлгебра и геометрия
К программе 11 класса
Алгебра11 классУглублённый уровень 15–20 минут3 задания

Простейшие дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение связывает неизвестную функцию с её производными и описывает изменение величины во времени.

Главная идея

Что нужно понять

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая после подстановки превращает уравнение в верное равенство.

Для простейшего уравнения y′ = ky скорость изменения пропорциональна самой величине, поэтому решения имеют экспоненциальный вид.

В теме «Простейшие дифференциальные уравнения» важно научиться узнавать задачу по её условиям, выбирать подходящее правило и связывать символическую запись с числовым или геометрическим смыслом. Опорная идея темы такова: Дифференциальное уравнение связывает неизвестную функцию с её производными и описывает изменение величины во времени.

Полное решение на уровне 11 класса включает запись исходных данных, обоснование выбранного способа, последовательные вычисления, проверку ограничений и ответ на вопрос задачи. Ниже этот порядок показан на двух примерах.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Уравнение y′ = ky утверждает: за одинаковое малое время величина меняется на одинаковую долю от текущего значения. Именно таким свойством обладает экспонента, потому что её производная пропорциональна ей самой.

Опорная формула

y′=ky⇒y=Cekxy'=ky\quad\Rightarrow\quad y=Ce^{kx}
Формула словами

Если скорость изменения y равна k, умноженному на само y, то функция имеет вид C, умноженное на e в степени kx.

Общее решение простейшего уравнения экспоненциального роста или убывания.

Расшифровка

Обозначения и термины

y(x)
неизвестная функция
y′
скорость изменения функции
k
коэффициент роста или убывания
C
постоянная, определяемая начальным условием

Алгоритм

Как решать задачи

  1. определить тип уравнения
  2. записать общее решение
  3. найти постоянную из начального условия

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите решение y′ = 2y, если y(0) = 3.

  1. Общее решение имеет вид y = Ce²ˣ.
  2. Из y(0) = C = 3 получаем значение постоянной.

Ответ: y = 3e²ˣ

Пример 2

Решите y′ = −3y при y(0) = 2.

  1. Общее решение: y = Ce⁻³ˣ.
  2. Из y(0) = C получаем C = 2.
  3. Отрицательный показатель означает убывание.

Ответ: y = 2e⁻³ˣ

Самопроверка

Типичные ошибки

  • принимать производную за обычный множитель
  • терять произвольную постоянную
  • не проверять начальное условие

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1

    Что является решением дифференциального уравнения?

  2. Задание 2

    С какого действия разумно начать работу по теме «Простейшие дифференциальные уравнения»?

  3. Задание 3

    Найдите решение y′ = 2y, если y(0) = 3.