Делители, кратные и признаки делимости
Делимость помогает исследовать целые числа без выполнения полного деления и строить точные алгоритмы.
Главная идея
Что нужно понять
Число a делится на b, если существует целое k такое, что a = bk. НОД делит оба числа, а НОК кратно каждому из них.
Разложение на простые множители позволяет находить НОД по общим множителям, а НОК — по всем множителям с наибольшими степенями.
В теме «Делители, кратные и признаки делимости» важно научиться узнавать задачу по её условиям, выбирать подходящее правило и связывать символическую запись с числовым или геометрическим смыслом. Опорная идея темы такова: Делимость помогает исследовать целые числа без выполнения полного деления и строить точные алгоритмы.
Полное решение на уровне 5 класса включает запись исходных данных, обоснование выбранного способа, последовательные вычисления, проверку ограничений и ответ на вопрос задачи. Ниже этот порядок показан на двух примерах.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Деление с остатком единственным образом представляет число как несколько полных групп и остаток. Алгоритм Евклида работает потому, что общие делители чисел a и b совпадают с общими делителями b и остатка a mod b.
Опорная формула
При делении a на b число a равно b, умноженному на неполное частное q, плюс остаток r; остаток неотрицателен и меньше b.
Теорема о делении с остатком.Расшифровка
Обозначения и термины
- a = bq + r
- деление a на b с неполным частным q
- 0 ≤ r < b
- условие на остаток
- НОД(a, b)
- наибольший общий делитель
- НОК(a, b)
- наименьшее общее кратное
Алгоритм
Как решать задачи
- разложить числа на простые множители
- выбрать нужные степени множителей
- проверить делением
От простого к сложному
Подробные примеры
Найдите НОД чисел 18 и 24.
- 18 = 2 · 3², 24 = 2³ · 3.
- Берём общие множители с меньшими степенями: 2 · 3.
Ответ: 6
Найдите НОД(84, 30) алгоритмом Евклида.
- 84 = 30 · 2 + 24.
- 30 = 24 · 1 + 6.
- 24 = 6 · 4, последний ненулевой остаток равен 6.
Ответ: 6
Самопроверка
Типичные ошибки
- путать НОД и НОК
- считать единицу простым числом
- допускать остаток, не меньший делителя
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Какое условие выполняется для остатка r при делении на положительное b?
С какого действия разумно начать работу по теме «Делители, кратные и признаки делимости»?
Найдите НОД чисел 18 и 24.