Простейшие задачи с параметром
Неравенство описывает не одно значение, а множество значений, удовлетворяющих условию.
Главная идея
Что нужно понять
Решение неравенства — любое значение переменной, при котором сравнение становится верным.
При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства обязательно меняют на противоположный.
Параметр считают фиксированным, но неизвестным числом. Решение должно описать все его значения, при которых меняется число корней, знак коэффициента или область допустимых значений.
Ключевой приём — найти граничные случаи: обращение старшего коэффициента в ноль, нулевой дискриминант, касание графиков или совпадение корней с запрещёнными значениями.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Неравенство описывает не одно значение, а множество. При умножении на отрицательное число порядок меняется: если a < b, то после отражения точек относительно нуля число −a окажется правее −b.
Опорная формула
Если a меньше b, то после умножения обоих чисел на минус один знак меняется: минус a становится больше минус b.
Изменение направления неравенства при умножении на −1.Расшифровка
Обозначения и термины
- <, >
- строгое сравнение; граница не входит
- ≤, ≥
- нестрогое сравнение; граница входит
- (a; b)
- открытый промежуток
- [a; b]
- отрезок с включёнными концами
Алгоритм
Как решать задачи
- перенести выражения в одну часть
- найти граничные точки
- определить знаки на промежутках
От простого к сложному
Подробные примеры
Решите −2x > 6.
- Делим обе части на −2.
- Меняем знак неравенства на противоположный.
Ответ: x < −3
Решите −3x + 4 ≥ 10.
- Переносим 4: −3x ≥ 6.
- Делим на −3 и меняем знак неравенства.
- Получаем x ≤ −2.
Ответ: (−∞; −2]
Самопроверка
Типичные ошибки
- не менять знак при делении на отрицательное число
- записывать только границы без промежутка
- включать точку при строгом знаке
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Что происходит со знаком неравенства при делении на отрицательное число?
С какого действия разумно начать работу по теме «Простейшие задачи с параметром»?
Решите −2x > 6.