Призмы, параллелепипеды и пирамиды
Многогранники состоят из плоских многоугольников и позволяют перейти от планиметрии к пространственным задачам.
Главная идея
Что нужно понять
Грани многогранника — многоугольники, их стороны образуют рёбра, а концы рёбер — вершины.
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту, а объём пирамиды составляет треть такого произведения.
В теме «Призмы, параллелепипеды и пирамиды» важно научиться узнавать задачу по её условиям, выбирать подходящее правило и связывать символическую запись с числовым или геометрическим смыслом. Опорная идея темы такова: Многогранники состоят из плоских многоугольников и позволяют перейти от планиметрии к пространственным задачам.
Полное решение на уровне 10 класса включает запись исходных данных, обоснование выбранного способа, последовательные вычисления, проверку ограничений и ответ на вопрос задачи. Ниже этот порядок показан на двух примерах.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Объём прямой призмы равен числу единичных слоёв основания, уложенных по высоте. Пирамида с теми же основанием и высотой занимает треть объёма призмы — это подтверждается разбиением соответствующих тел.
Опорная формула
Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту; для пирамиды такое произведение дополнительно делят на три.
Объёмы призмы и пирамиды.Расшифровка
Обозначения и термины
- Sосн
- площадь основания
- h
- перпендикулярная высота
- V = Sосн·h
- объём призмы
- V = ⅓Sосн·h
- объём пирамиды
Алгоритм
Как решать задачи
- построить понятный чертёж
- выделить основание и высоту
- свести пространственные вычисления к плоским фигурам
От простого к сложному
Подробные примеры
Найдите объём призмы с площадью основания 12 и высотой 5.
- Используем V = Sосн · h.
- Подставим 12 · 5.
Ответ: 60
Найдите объём пирамиды: Sосн = 18, h = 7.
- Берём треть произведения площади основания на высоту.
- V = ⅓ · 18 · 7.
- 18 делим на 3 и умножаем на 7.
Ответ: 42
Самопроверка
Типичные ошибки
- принимать боковое ребро за высоту наклонной призмы
- терять коэффициент 1/3 у пирамиды
- строить сечение без проверки принадлежности точек граням
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Из чего состоят грани многогранника?
С какого действия разумно начать работу по теме «Призмы, параллелепипеды и пирамиды»?
Найдите объём призмы с площадью основания 12 и высотой 5.