Лаборатория знанийАлгебра и геометрия
К программе 10 класса
Геометрия10 класс 15–20 минут3 задания

Взаимное расположение прямых и плоскостей

Стереометрия изучает фигуры и взаимное расположение объектов в трёхмерном пространстве.

Главная идея

Что нужно понять

Прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться; прямая и плоскость — пересекаться или быть параллельными.

Угол между прямой и плоскостью измеряют углом между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.

В теме «Взаимное расположение прямых и плоскостей» важно научиться узнавать задачу по её условиям, выбирать подходящее правило и связывать символическую запись с числовым или геометрическим смыслом. Опорная идея темы такова: Стереометрия изучает фигуры и взаимное расположение объектов в трёхмерном пространстве.

Полное решение на уровне 10 класса включает запись исходных данных, обоснование выбранного способа, последовательные вычисления, проверку ограничений и ответ на вопрос задачи. Ниже этот порядок показан на двух примерах.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Пространственную задачу обычно сводят к плоской: строят сечение, проекцию или перпендикуляр и получают треугольник, где работают знакомые теоремы. Корректность зависит от доказанного взаимного расположения объектов, а не от вида рисунка.

Опорная формула

d(A,α)=∣AH∣,AH⊥αd(A,\alpha)=|AH|,\qquad AH\perp\alpha
Формула словами

Расстояние от точки A до плоскости альфа равно длине перпендикуляра AH, опущенного из точки на эту плоскость.

Расстояние от точки A до плоскости α.

Расшифровка

Обозначения и термины

α, β
плоскости
a ∥ α
прямая a параллельна плоскости α
AH ⟂ α
AH — перпендикуляр к плоскости
d(A, α)
расстояние от точки A до плоскости α

Алгоритм

Как решать задачи

  1. определить взаимное расположение объектов
  2. построить проекцию или перпендикуляр
  3. найти нужную величину в плоском сечении

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Из точки A к плоскости проведён перпендикуляр AH = 4. Чему равно расстояние от A до плоскости?

  1. Расстояние до плоскости — длина перпендикуляра.
  2. Перпендикуляр AH уже дан.

Ответ: 4

Пример 2

Наклонная AB к плоскости равна 13, её проекция HB равна 5. Найдите расстояние AH до плоскости.

  1. AH ⟂ HB, поэтому треугольник AHB прямоугольный.
  2. AH² = AB² − HB² = 169 − 25 = 144.
  3. AH = 12.

Ответ: 12

Самопроверка

Типичные ошибки

  • считать скрещивающиеся прямые параллельными
  • брать наклонную вместо перпендикуляра
  • доверять перспективному рисунку без доказательства

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1

    Каким отрезком измеряется расстояние от точки до плоскости?

  2. Задание 2

    С какого действия разумно начать работу по теме «Взаимное расположение прямых и плоскостей»?

  3. Задание 3

    Из точки A к плоскости проведён перпендикуляр AH = 4. Чему равно расстояние от A до плоскости?