Метод следов, внутреннего проектирования и переноса плоскости
Стереометрия изучает фигуры и взаимное расположение объектов в трёхмерном пространстве.
Главная идея
Что нужно понять
Прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться; прямая и плоскость — пересекаться или быть параллельными.
Угол между прямой и плоскостью измеряют углом между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.
След секущей плоскости на грани — прямая её пересечения с плоскостью этой грани. Две найденные точки определяют след; его пересечения с рёбрами дают новые вершины сечения.
Если нужные пересечения лежат вне грани, плоскость переносят параллельно или проектируют конфигурацию на удобную грань. После построения результат проверяют: все звенья многоугольника должны последовательно принадлежать граням тела.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Пространственную задачу обычно сводят к плоской: строят сечение, проекцию или перпендикуляр и получают треугольник, где работают знакомые теоремы. Корректность зависит от доказанного взаимного расположения объектов, а не от вида рисунка.
Опорная формула
Пересечение секущей плоскости альфа и плоскости грани бета является прямой l — следом секущей плоскости на этой грани.
След плоскости α на грани β — их общая прямая l.Расшифровка
Обозначения и термины
- α, β
- плоскости
- a ∥ α
- прямая a параллельна плоскости α
- AH ⟂ α
- AH — перпендикуляр к плоскости
- d(A, α)
- расстояние от точки A до плоскости α
Алгоритм
Как решать задачи
- найти две точки секущей плоскости на одной грани и провести её след
- продолжить след до пересечения с рёбрами или перенести его на параллельную грань
- обойти соседние грани, замкнуть многоугольник сечения и проверить каждое звено
От простого к сложному
Подробные примеры
На одной грани куба даны две точки M и N секущей плоскости. Как начать построение сечения?
- Точки M и N принадлежат и секущей плоскости, и плоскости одной грани.
- Значит, прямая MN является следом секущей плоскости на этой грани.
- Продлеваем MN до пересечения с рёбрами грани — получаем первые вершины сечения.
Ответ: Провести след MN и найти его пересечения с рёбрами
След секущей плоскости не пересекает нужное ребро внутри грани. Что делать?
- Продолжаем ребро и след как прямые в плоскости грани.
- Находим их внешнюю точку пересечения.
- Через полученную точку переходим к смежной грани; в конце оставляем только части сечения внутри тела.
Ответ: Использовать продолжения прямых и перенести след на смежную грань
Самопроверка
Типичные ошибки
- считать скрещивающиеся прямые параллельными
- брать наклонную вместо перпендикуляра
- доверять перспективному рисунку без доказательства
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Каким отрезком измеряется расстояние от точки до плоскости?
С какого действия разумно начать работу по теме «Метод следов, внутреннего проектирования и переноса плоскости»?
На одной грани куба даны две точки M и N секущей плоскости. Как начать построение сечения?