Лаборатория знанийАлгебра и геометрия
К программе 11 класса
Геометрия11 класс 15–20 минут3 задания

Сечения тел вращения

Многогранники состоят из плоских многоугольников и позволяют перейти от планиметрии к пространственным задачам.

Главная идея

Что нужно понять

Грани многогранника — многоугольники, их стороны образуют рёбра, а концы рёбер — вершины.

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту, а объём пирамиды составляет треть такого произведения.

Сечение строят по граням: две точки одной грани задают отрезок линии сечения. Далее используют параллельность противоположных граней и последовательно переходят на соседние грани.

Каждая вершина сечения должна лежать на ребре или продолжении ребра тела; произвольное соединение точек через внутренность многогранника не является построением.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Объём прямой призмы равен числу единичных слоёв основания, уложенных по высоте. Пирамида с теми же основанием и высотой занимает треть объёма призмы — это подтверждается разбиением соответствующих тел.

Опорная формула

Vпризмы=Sоснh,Vпирамиды=13SоснhV_{\text{призмы}}=S_{\text{осн}}h,\qquad V_{\text{пирамиды}}=\frac13S_{\text{осн}}h
Формула словами

Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту; для пирамиды такое произведение дополнительно делят на три.

Объёмы призмы и пирамиды.

Расшифровка

Обозначения и термины

Sосн
площадь основания
h
перпендикулярная высота
V = Sосн·h
объём призмы
V = ⅓Sосн·h
объём пирамиды

Алгоритм

Как решать задачи

  1. построить понятный чертёж
  2. выделить основание и высоту
  3. свести пространственные вычисления к плоским фигурам

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите объём призмы с площадью основания 12 и высотой 5.

  1. Используем V = Sосн · h.
  2. Подставим 12 · 5.

Ответ: 60

Пример 2

Найдите объём пирамиды: Sосн = 18, h = 7.

  1. Берём треть произведения площади основания на высоту.
  2. V = ⅓ · 18 · 7.
  3. 18 делим на 3 и умножаем на 7.

Ответ: 42

Самопроверка

Типичные ошибки

  • принимать боковое ребро за высоту наклонной призмы
  • терять коэффициент 1/3 у пирамиды
  • строить сечение без проверки принадлежности точек граням

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1

    Из чего состоят грани многогранника?

  2. Задание 2

    С какого действия разумно начать работу по теме «Сечения тел вращения»?

  3. Задание 3

    Найдите объём призмы с площадью основания 12 и высотой 5.