Осевая, центральная и зеркальная симметрия
Геометрические преобразования описывают, как фигура меняет положение, размер или ориентацию.
Главная идея
Что нужно понять
Движение сохраняет расстояния между точками, поэтому переводит фигуру в равную ей фигуру.
Параллельный перенос прибавляет один и тот же вектор к координатам каждой точки.
При осевой симметрии ось является серединным перпендикуляром к AA′. При центральной симметрии центр O — середина AA′. Эти признаки позволяют не угадывать положение образа, а строить его точно.
Симметрия сохраняет длины и углы, поэтому исходная фигура и её образ равны, хотя ориентация при отражении меняется.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Движение сохраняет расстояния, а значит — углы, площади и форму фигуры. Параллельный перенос прибавляет один и тот же вектор ко всем точкам; поворот сохраняет расстояние до центра и изменяет направление на один угол.
Опорная формула
При переносе на вектор с координатами a и b к x каждой точки прибавляют a, а к y прибавляют b.
Параллельный перенос на вектор (a; b).Расшифровка
Обозначения и термины
- A → A′
- образ точки A
- v⃗
- вектор переноса
- O
- центр поворота или симметрии
- φ
- угол поворота
Алгоритм
Как решать задачи
- определить вид преобразования
- найти образ характерных точек
- проверить сохраняемые свойства
От простого к сложному
Подробные примеры
Перенесите точку (1; 2) на вектор (3; −1).
- Прибавим соответствующие координаты.
- (1 + 3; 2 − 1).
Ответ: (4; 1)
Перенесите B(−1; 2) на вектор v⃗ = (4; −3).
- Складываем соответствующие координаты.
- x′ = −1 + 4 = 3.
- y′ = 2 − 3 = −1.
Ответ: B′(3; −1)
Самопроверка
Типичные ошибки
- менять только одну точку фигуры
- путать поворот и гомотетию
- считать, что гомотетия всегда сохраняет длины
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Что сохраняет любое движение?
С какого действия разумно начать работу по теме «Осевая, центральная и зеркальная симметрия»?
Перенесите точку (1; 2) на вектор (3; −1).