Аксиомы, теоремы и структура доказательства
Построение и доказательство учат получать результат из явно сформулированных свойств, а не доверять внешнему виду рисунка.
Главная идея
Что нужно понять
Геометрическое место точек — множество всех точек, удовлетворяющих заданному условию.
Полное решение задачи на построение включает анализ, построение, доказательство и исследование числа решений.
Аксиома принимается без доказательства, определение раскрывает смысл термина, а теорема выводится логически из уже известных фактов. В доказательстве отдельно фиксируют условие, требуемое утверждение и цепочку обоснованных шагов.
Рисунок служит моделью, но не основанием вывода: каждое равенство, параллельность или принадлежность должны следовать из условия либо названной теоремы.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Построение циркулем и линейкой опирается на геометрические места точек. Пересечение двух таких множеств одновременно выполняет два условия задачи; доказательство подтверждает, что построены все и только нужные точки.
Опорная формула
Точка M равноудалена от A и B тогда и только тогда, когда она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка.Расшифровка
Обозначения и термины
- ГМТ
- геометрическое место точек
- MA = MB
- M равноудалена от A и B
- ∠
- угол
- ⊥
- перпендикулярность
Алгоритм
Как решать задачи
- проанализировать свойства искомой фигуры
- выполнить построение разрешёнными инструментами
- доказать правильность и исследовать случаи
От простого к сложному
Подробные примеры
Где находятся точки, равноудалённые от A и B?
- Центр окружности через A и B должен иметь равные радиусы.
- Все такие центры образуют серединный перпендикуляр к AB.
Ответ: На серединном перпендикуляре к AB
Как построить точку, равноудалённую от A, B и C?
- Строим серединный перпендикуляр к AB.
- Строим серединный перпендикуляр к AC.
- Их пересечение равноудалено от трёх вершин.
Ответ: Центр описанной окружности треугольника ABC
Самопроверка
Типичные ошибки
- считать аккуратный рисунок доказательством
- пропускать исследование существования
- использовать свойства, которые ещё не доказаны
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Что обязательно следует после построения?
С какого действия разумно начать работу по теме «Аксиомы, теоремы и структура доказательства»?
Где находятся точки, равноудалённые от A и B?