Лаборатория знанийАлгебра и геометрия
К программе 8 класса
Геометрия8 классУглублённый уровень 15–20 минут3 задания

Теорема Вариньона

Четырёхугольники классифицируют по параллельности сторон, углам и свойствам диагоналей.

Главная идея

Что нужно понять

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

В параллелограмме противоположные стороны и углы равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Если соединить середины соседних сторон любого четырёхугольника, получится параллелограмм. Его стороны параллельны диагоналям исходного четырёхугольника по свойству средней линии треугольника.

Теорема не требует, чтобы исходный четырёхугольник был прямоугольником или даже выпуклым; важны только середины его сторон.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Свойства четырёхугольников выводятся из параллельности сторон и разбиения диагональю на треугольники. Например, диагональ параллелограмма создаёт два равных треугольника, откуда следуют равенства сторон и углов.

Опорная формула

Sпараллелограмма=ahS_{\text{параллелограмма}}=ah
Формула словами

Площадь параллелограмма равна длине выбранного основания, умноженной на высоту, проведённую к этому основанию.

Площадь параллелограмма через основание и соответствующую высоту.

Расшифровка

Обозначения и термины

a, b
длины соседних сторон
hₐ
высота к стороне a
d₁, d₂
диагонали
S = ahₐ
площадь параллелограмма

Алгоритм

Как решать задачи

  1. определить вид четырёхугольника
  2. отметить известные свойства
  3. выделить треугольники или применить формулу площади

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите площадь параллелограмма с основанием 7 и высотой 4.

  1. Площадь равна произведению основания на высоту.
  2. 7 · 4 = 28.

Ответ: 28

Пример 2

Основания трапеции равны 6 и 10, высота 4. Найдите площадь.

  1. Средняя длина оснований: (6 + 10)/2 = 8.
  2. Умножаем на высоту: S = 8 · 4.

Ответ: 32

Самопроверка

Типичные ошибки

  • принимать боковую сторону за высоту
  • переносить свойства квадрата на любую трапецию
  • делить площадь параллелограмма на два

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1

    Как ведут себя диагонали параллелограмма в точке пересечения?

  2. Задание 2

    С какого действия разумно начать работу по теме «Теорема Вариньона»?

  3. Задание 3

    Найдите площадь параллелограмма с основанием 7 и высотой 4.