Уравнения прямой и окружности
Окружность объединяет точки, равноудалённые от центра, а её углы, хорды и касательные связаны строгими теоремами.
Главная идея
Что нужно понять
Радиус соединяет центр с точкой окружности, диаметр проходит через центр, а касательная имеет с окружностью одну общую точку.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Уравнение Ax + By + C = 0 задаёт прямую, потому что его решения образуют множество точек одного направления. Уравнение (x−a)² + (y−b)² = R² задаёт все точки на расстоянии R от центра (a; b).
Чтобы найти точки пересечения, решают систему двух уравнений; количество решений соответствует числу общих точек геометрических объектов.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Все точки окружности находятся на одном расстоянии от центра. Из равенства радиусов возникают равнобедренные треугольники, а из них — связи между центральными, вписанными углами, хордами и касательными.
Опорная формула
Длина окружности равна двум радиусам, умноженным на число пи; площадь круга равна пи, умноженному на квадрат радиуса.
Длина окружности и площадь круга.Расшифровка
Обозначения и термины
- R
- радиус окружности
- d = 2R
- диаметр
- L = 2πR
- длина окружности
- S = πR²
- площадь круга
Алгоритм
Как решать задачи
- отметить центр, радиусы и точки касания
- найти подходящий угол или треугольник
- применить теорему и проверить единицы
От простого к сложному
Подробные примеры
Найдите длину окружности радиуса 3.
- Используем формулу L = 2πR.
- Подставляем R = 3.
Ответ: 6π
Радиус круга равен 6. Найдите длину окружности и площадь.
- L = 2π · 6 = 12π.
- S = π · 6² = 36π.
Ответ: L = 12π, S = 36π
Самопроверка
Типичные ошибки
- путать радиус и диаметр
- использовать формулу площади вместо длины
- не видеть прямой угол в точке касания
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Как расположен радиус к касательной в точке касания?
С какого действия разумно начать работу по теме «Уравнения прямой и окружности»?
Найдите длину окружности радиуса 3.