Десятичные дроби

Разряд определяет значение цифры

Десятичная дробь записывает число с помощью степеней десяти. В числе $2{,}375$ две целые единицы, три десятых, семь сотых и пять тысячных: $2{,}375=2+3/10+7/100+5/1000$. Запятая отделяет целую часть; в программах ту же роль часто играет точка.

Конечную десятичную дробь переводят в обыкновенную, записывая целое число цифр после запятой над соответствующей степенью десяти, затем сокращают. Приписывание нулей справа значения не меняет: $0{,}4=0{,}40$, но $0{,}04$ уже в десять раз меньше.

Сравнение и бесконечные записи

Сначала сравнивают целые части, затем десятые, сотые и следующие разряды. Число цифр само по себе не помогает: $0{,}9>0{,}12$, потому что девять десятых больше одной десятой.

Десятичная запись отношения целых чисел бывает конечной или периодической: $1/8=0{,}125$, а $1/6=0{,}1666\ldots$. После сокращения дроби конечная запись возможна тогда и только тогда, когда положительный знаменатель содержит только простые множители $2$ и $5$. Число $1/3$ нельзя точно заменить $0{,}33$: это округление.

При сложении выравнивают запятые, то есть одинаковые разряды. Запись $0{,}2+0{,}03=0{,}23$ складывает две десятых и три сотых. Не переносите привычки подсчёта целых на разрядную запись без проверки.

Три примера

1. $0{,}48=48/100=12/25$: два знака после запятой дают знаменатель $100$.
2. Сравним $0{,}507$ и $0{,}57$. Допишем ноль: $0{,}507<0{,}570$ по разряду сотых.
3. $7/20=35/100=0{,}35$, но $7/30=0{,}2333\ldots$. Первая запись точная конечная, вторая периодическая; сокращение до $0{,}23$ теряет часть значения.