Доверительные интервалы
Случайный интервал с заданным покрытием и корректная частотная интерпретация.
Перед чтением
Что вы разберёте в этой статье
Случайный интервал с заданным покрытием и корректная частотная интерпретация.
Статистический вывод использует выборку, чтобы осторожно судить о всей совокупности. Любой такой вывод содержит неопределённость, которую нужно явно оценить.
- Доверительные интервалы
- estimation
- central-limit-theorems
Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.
После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.
Раздел: Статистические выводы · университетский уровень
Случайны границы, не фиксированный параметр
Доверительный интервал — процедура, которая по выборке возвращает две границы. Уровень 95% означает, что при многократном повторении этой процедуры в модели примерно 95% получаемых интервалов накроют фиксированный истинный параметр. После наблюдения конкретного интервала параметр либо внутри, либо снаружи; частотный уровень не является апостериорной вероятностью данного параметра.
Интервалы среднего
При независимой нормальной выборке и известном σ используют нормальный квантиль. При неизвестном σ и n≥2 заменяют его исправленным выборочным S и используют квантиль Стьюдента с n−1 степенями свободы. Точный t-закон требует нормальности; для иных законов такой интервал может быть лишь приближением и чувствителен к тяжёлым хвостам.
Доля и границы
Для биномиальной доли простой симметричный интервал Вальда может выйти за [0,1] и плохо работать возле нуля и единицы. Интервал Уилсона строят обращением score-теста; он учитывает граничные случаи заметно лучше, но его конечновыборочное покрытие не обязано точно равняться номинальному. «Точный» интервал Клоппера–Пирсона имеет другой, консервативный смысл.
Набросок построения
Найдите статистику с известным распределением, например (среднее−μ)/(S/√n) в нормальной модели. Ограничьте её между двумя квантилями и алгебраически выразите допустимые μ. Получается случайный интервал с указанным покрытием.
Широкий интервал показывает неопределённость, а не ошибку вычисления. Увеличение объёма независимой выборки обычно сужает его; повышение доверительного уровня, напротив, расширяет.
Три примера
- При известном σ=2,n=100 и среднем 10 нормальный 95%-интервал приблизительно 10±1,96·0,2, то есть [9,608;10,392].
- Если увеличить n в четыре раза при том же σ и уровне, стандартная ошибка уменьшается вдвое.
- Ноль успехов из десяти не означает, что верхняя граница интервала доли равна нулю: данные совместимы с небольшой положительной вероятностью.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Точный двухсторонний t-интервал среднего для независимой нормальной выборки; S² использует делитель n−1.
Как применять: Разделите наблюдаемые данные, неизвестный параметр и выбранный уровень уверенности; проверьте предпосылки метода.
От формулы к наблюдению
Попробуйте самостоятельно
Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
σ=3 известна, n=100. Используйте квантиль z=1,96. Найдите полуширину 95%-интервала среднего.
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Среднее 8, полуширина интервала 0,7. Найдите нижнюю границу.
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Во сколько раз нужно увеличить n, чтобы при известном σ и неизменном уровне уменьшить полуширину втрое?
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.