Центральная предельная теорема

Среднее и его ошибка

ЗБЧ говорит, куда стремится среднее. ЦПТ описывает форму распределения его флуктуаций после увеличения масштаба в √n раз. Без этого масштабирования среднее обычно схлопывается к константе, а не к нормальному закону с фиксированной ненулевой дисперсией.

Классическая теорема

Для независимых одинаково распределённых Xi с конечным средним μ и конечной положительной дисперсией σ² центрированная сумма, делённая на σ√n, сходится по распределению к стандартному нормальному закону. Исходный закон не обязан быть симметричным или непрерывным. Нулевая дисперсия даёт постоянные величины, для которых указанная стандартизация не определена.

Набросок доказательства

У центрированной нормированной одной величины характеристическая функция около нуля имеет разложение 1−t²/2+o(t²). Для суммы независимых величин перемножаем функции с аргументом t/√n. Предел произведения равен exp(−t²/2), характеристической функции N(0,1). Теорема непрерывности Леви завершает переход к сходимости законов.

Точность и обобщения

ЦПТ — предельное утверждение, а не правило «после 30 всё нормально». Скорость зависит от исходного закона; при конечном третьем абсолютном центральном моменте оценка Берри–Эссеена даёт порядок 1/√n с множителем, зависящим от распределения. Сильная асимметрия и редкие выбросы требуют осторожности.

Для неодинаковых слагаемых существуют формы Линдеберга и Ляпунова; они дополнительно контролируют, чтобы отдельные большие вклады не разрушали предел. При бесконечной дисперсии обычная нормальная ЦПТ может не действовать. Численный график не заменяет проверку этих условий.

Три примера

1. У равномерной [0,1] μ=1/2 и σ²=1/12. Стандартизованное среднее больших независимых выборок имеет приблизительно стандартный нормальный закон.
2. Если исходные Xi уже нормальны, стандартизованная сумма имеет N(0,1) точно при любом n, не только асимптотически.
3. Среднее независимых стандартных Коши снова имеет закон Коши: нормальное приближение с конечной σ здесь неприменимо.