Характеристические функции

Закон через колебания

Характеристическая функция переводит вероятностный закон в комплекснозначную функцию вещественного аргумента. Она усредняет вращение exp(itX). Модуль каждого такого множителя равен 1, поэтому ожидание существует для любой вещественной случайной величины, даже если у неё нет среднего.

Основные свойства

Значение в нуле равно 1, модуль не превосходит 1, а значение при −t является комплексным сопряжением значения при t. Характеристическая функция непрерывна и однозначно определяет закон. Не всякая функция с этими простыми свойствами является характеристической: требуется ещё положительная определённость.

Зачем она нужна

У суммы независимых величин характеристические функции перемножаются: экспонента суммы равна произведению, а независимость позволяет разнести ожидание. Это заменяет свёртку более простой алгеброй. У аффинного преобразования aX+b функция равна exp(itb)·φX(at).

Если абсолютный момент порядка k конечен, можно k раз дифференцировать в нуле и получить соответствующий момент с множителем i в степени k. Без условия существования момента такое формальное дифференцирование не гарантирует правильного вывода.

Набросок предельного аргумента

Теорема непрерывности Леви связывает поточечную сходимость характеристических функций к функции, непрерывной в нуле, со слабой сходимостью законов. Именно поэтому характеристические функции удобны для доказательства ЦПТ. Это утверждение о распределениях, а не о сходимости конкретных траекторий почти наверное.

Три примера

1. Для постоянной X=c функция равна exp(itc). При c=0 она тождественно равна 1.
2. Для Бернулли с вероятностью p характеристическая функция 1−p+p·exp(it). При t=π она равна 1−2p.
3. У стандартной нормальной величины φ(t)=exp(−t²/2). Произведение n таких функций соответствует нормальному закону суммы с дисперсией n.