Независимость случайных величин
Факторизация совместного закона и отличие попарной независимости от независимости в совокупности.
Перед чтением
Что вы разберёте в этой статье
Факторизация совместного закона и отличие попарной независимости от независимости в совокупности.
Совместная модель описывает несколько случайных величин одновременно. Она показывает, какие пары значений возможны и как знание одной величины меняет представление о другой.
- Независимость случайных величин
- joint-distributions
- independent-events
Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.
После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.
Раздел: Совместные распределения · университетский уровень
Что именно должно не зависеть
Независимость означает, что наблюдение одной части семейства не меняет вероятностный закон другой части. Проверка одного среднего или одной ячейки не устанавливает это свойство: условие относится к целому совместному закону.
Строгая формулировка
Конечное семейство независимо, если вероятность пересечения координатных событий равна произведению вероятностей для любого выбора борелевских множеств. Для бесконечного семейства независимость требует этого для каждого конечного подсемейства. Эквивалентно совместная CDF факторизуется; в дискретном случае факторизуются все массы, а при совместной плотности — плотность почти всюду.
Попарно не значит в совокупности
Пусть A и B — независимые честные биты, а C — их сумма по модулю 2. Каждая пара из A,B,C независима: знание одного бита оставляет другой равновероятным. Но три вместе зависимы, поскольку третий определяется первыми двумя. Вероятность тройки (0,0,0) равна 1/4, а не произведению 1/8.
Следствия и ограничения
Для независимых интегрируемых X,Y произведение интегрируемо и E(XY)=E X·E Y. При конечных вторых моментах ковариация равна нулю. Обратное в общем случае неверно. Измеримые функции независимых групп величин тоже независимы; функции одной величины обычно не независимы.
Практические данные могут быть лишь приближённо описаны независимой моделью. Независимость наблюдений — содержательное предположение о способе сбора данных, а не свойство, которое гарантируется большой выборкой.
Три примера
- Два независимых Бернулли с p=0,2 и q=0,7 одновременно равны 1 с вероятностью 0,14.
- Если X,Y независимы, события X²≤4 и Y>0 тоже независимы: каждое использует только свою координату.
- Для честных битов A,B и C=A⊕B вероятность A=B=C=1 равна нулю. Это противоречит произведению трёх маргинальных вероятностей 1/8.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Равенство должно выполняться для всех борелевских Bi, а не только для одного удачно выбранного события.
Как применять: Начните с совместных вероятностей, затем суммируйте по строкам или столбцам для получения отдельных распределений.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
X,Y независимы; P(X>0)=0,3 и P(Y>0)=0,4. Найдите P(X>0,Y>0).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
X,Y независимы и интегрируемы, E X=2,E Y=−3. Найдите E(XY).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
A,B — независимые честные биты, C=A⊕B. Найдите P(A=0,B=0,C=0).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.