Совместные и условные распределения
Как из таблицы двух величин получить отдельный закон и закон при условии.
Перед чтением
Что вы разберёте в этой статье
Как из таблицы двух величин получить отдельный закон и закон при условии.
Совместная модель описывает несколько случайных величин одновременно. Она показывает, какие пары значений возможны и как знание одной величины меняет представление о другой.
- Совместные и условные распределения
- random-vectors
- conditional-expectation
Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.
После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.
Раздел: Совместные распределения · университетский уровень
Сначала целая таблица
Совместное распределение показывает, какие пары значений появляются вместе. Маргинализация отвечает на вопрос об одной величине, игнорируя другую; условный закон оставляет только случаи, совместимые с наблюдением, и перенормирует веса. Это разные операции.
Дискретные законы
Пусть p(x,y) — неотрицательная таблица с общей суммой 1. Суммы по строкам или столбцам дают маргинальные вероятности. Если наблюдение Y=y имеет положительную вероятность, деление соответствующего столбца на его сумму даёт условный закон X. После деления сумма условных вероятностей должна быть равна 1.
Непрерывное условие
При совместной плотности маргинальную плотность получают интегрированием по другой координате. Отношение совместной и маргинальной плотностей задаёт версию условной плотности там, где знаменатель положителен. Это не школьное деление вероятности пересечения на P(Y=y): для абсолютно непрерывной Y вероятность отдельного значения нулевая. Значения условной версии на исключительном множестве могут не быть единственными.
Набросок проверки и ошибки
Интегрирование или суммирование условного закона, умноженного на маргинальный вес условия, возвращает исходный закон. Это закон полного распределения. Нельзя нормировать каждую ячейку своим знаменателем и затем считать результат одной условной таблицей: сначала зафиксируйте, какая переменная и какое значение известны.
Переход от совместного к условному закону обычно меняет среднее. Такой пересчёт отражает информацию, но сам по себе не доказывает причинного влияния одной величины на другую.
Три примера
- В таблице p(0,0)=0,1,p(0,1)=0,2,p(1,0)=0,3,p(1,1)=0,4 получаем P(X=1)=0,7 и P(Y=1)=0,6.
- В той же таблице P(X=1|Y=1)=0,4/0,6=2/3. Условная вероятность отличается от безусловной 0,7.
- Плотность 2 на треугольнике 0<x<y<1 даёт fY(y)=2y. При y>0 условная X равномерна на (0,y), поэтому её среднее y/2.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Формула условной массы применяется при pY(y)>0; при плотностях используется аналогичное отношение там, где знаменатель положителен.
Как применять: Начните с совместных вероятностей, затем суммируйте по строкам или столбцам для получения отдельных распределений.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
p(0,0)=0,2,p(0,1)=0,1,p(1,0)=0,3,p(1,1)=0,4. Найдите P(Y=0).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
В предыдущей таблице найдите P(X=1|Y=0).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Совместная плотность равна 2 при 0<x<y<1. Найдите E[X|Y=0,8] для естественной условной плотности.
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.