Случайные векторы
Несколько наблюдений одного опыта и их совместный закон.
Перед чтением
Что вы разберёте в этой статье
Несколько наблюдений одного опыта и их совместный закон.
Совместная модель описывает несколько случайных величин одновременно. Она показывает, какие пары значений возможны и как знание одной величины меняет представление о другой.
- Случайные векторы
- measurable-variables
Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.
После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.
Раздел: Совместные распределения · университетский уровень
Один исход — несколько чисел
В эксперименте можно одновременно записать время ожидания и число обращений, очки первого и второго кубиков или несколько измерений объекта. Такой результат описывает случайный вектор. Его компоненты должны быть определены на одном вероятностном пространстве: иначе вопрос об их совместном событии ещё не задан.
Определение
Случайный вектор — измеримое отображение из Ω в евклидово пространство. Для конечной размерности это равносильно измеримости каждой координаты. Закон вектора присваивает вероятности борелевским областям, а совместная функция распределения рассматривает прямоугольники, неограниченные слева по каждой координате.
Что теряют отдельные распределения
Законы каждой координаты называют маргинальными. Они не описывают всю зависимость. Пары (U,U) и (U,1−U) для равномерной U на [0,1] имеют одинаковые равномерные маргинальные законы, но первая лежит на восходящей диагонали, а вторая — на нисходящей. Ни у одной пары нет двумерной плотности относительно площади, хотя каждая координата имеет плотность.
Как считать
В дискретной модели суммируйте массы подходящих точек; при совместной плотности интегрируйте по области. Умножение маргинальных вероятностей требует независимости. Для конечной таблицы проверяйте неотрицательность и сумму всех ячеек 1. Отсутствующая комбинация может иметь нулевую массу, но её нельзя просто забыть при проверке зависимости.
Три примера
- Два независимых честных кубика образуют 36 равновероятных точек. Область X≤2,Y≤3 содержит шесть точек и имеет вероятность 1/6.
- Для пары (U,U) событие X≤0,4,Y≤0,7 равносильно U≤0,4, поэтому его вероятность 0,4.
- Если X и Y независимы и равномерны на [0,1], тот же прямоугольник имеет вероятность 0,4·0,7=0,28. Одинаковые маргинальные законы не дали одинакового результата.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Совместная CDF задаёт вероятность одновременного выполнения всех координатных ограничений.
Как применять: Начните с совместных вероятностей, затем суммируйте по строкам или столбцам для получения отдельных распределений.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
Два независимых честных кубика. Найдите P(X≤3,Y≤2).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
U равномерна на [0,1], X=U,Y=U. Найдите F(X,Y) в точке (0,2;0,8), то есть P(X≤0,2,Y≤0,8).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
U равномерна на [0,1], X=U,Y=1−U. Найдите P(X≤0,7,Y≤0,6).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.