Случайная величина как измеримая функция
Число, вычисленное по исходу, должно быть совместимо с доступной информацией.
Перед чтением
Что вы разберёте в этой статье
Число, вычисленное по исходу, должно быть совместимо с доступной информацией.
Вероятность — это число от нуля до единицы, показывающее, насколько возможным считается событие в выбранной модели. Сначала всегда описывают опыт и его исходы, и лишь затем считают.
- Случайная величина как измеримая функция
- sigma-algebras
- random-variable
Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.
После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.
Раздел: Основы вероятности · университетский уровень
Числовое наблюдение
Случайная величина — функция исхода, например число орлов или сумма очков. Но в строгой теории недостаточно просто задать числовую таблицу: вопросы о её значении должны принадлежать сигма-алгебре событий. Это требование называют измеримостью.
Определение
Функция измерима, если прообраз каждого борелевского множества является событием. Для вещественной функции достаточно проверить события для всех вещественных x. Закон X — образ вероятностной меры: он присваивает множеству B вероятность того, что значение X принадлежит B.
Информация ограничивает наблюдение
На конечной сигма-алгебре функция измерима тогда и только тогда, когда постоянна на каждом её атоме. Если доступна только чётность кубика, индикатор чётности измерим, а точное число очков — нет. При полной сигма-алгебре конечного пространства любая вещественная функция измерима.
Почему преобразования допустимы
Если X измерима, а g — борелевская функция, то g(X) также измерима: прообраз множества через композицию берётся в два шага. Поэтому обычные суммы, произведения, абсолютное значение и индикаторы порогов снова дают случайные величины. Это доказательство через прообразы не требует, чтобы X имела плотность.
Не путайте исход, значение и закон. Две разные функции могут иметь одинаковое распределение, а одинаковое распределение само по себе не означает равенства функций на одном пространстве.
Три примера
- Для честного кубика X — индикатор события «больше 4». Значения 0 и 1 имеют вероятности 2/3 и 1/3.
- Если известна только чётность, функция X=0 на нечётных и X=10 на чётных измерима. Функция X=число очков не постоянна на атомах.
- При равномерном U на [0,1] величина U² измерима. Для 0≤t≤1 её CDF равна √t, так как U²≤t эквивалентно U≤√t.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Прообраз борелевского множества должен быть событием исходного вероятностного пространства.
Как применять: Назовите событие, определите пространство исходов и проверьте предположения модели: конечность, равновозможность или известные вероятности.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
X — индикатор выпадения 5 или 6 на честном кубике. Найдите P(X=1).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
U равномерна на [0,1], X=U². Найдите P(X≤0,36).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Сигма-алгебра имеет 3 непустых атома. Сколько измеримых функций со значениями только 0 и 1 существует?
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.