Случайная величина

Число, зависящее от исхода

Случайная величина — числовая функция на пространстве исходов. Правило вычисления задаётся заранее, а значение зависит от результата опыта. После броска двух костей можно записать исход как упорядоченную пару, а величину $X$ определить как сумму очков. Разные исходы способны давать одно и то же значение.

Обозначение $X$ относится к функции, а $x$ — к конкретному числу. Запись $P(X=7)$ означает вероятность множества всех исходов, для которых сумма равна 7. В конечном пространстве любая числовая функция подходит. В общей теории дополнительно требуется измеримость: множества вида $\{X\le x\}$ должны быть событиями.

Модель и наблюдение

Число дефектов, время ожидания и результат измерения — разные случайные величины, даже если они связаны с одним опытом. Единицы измерения входят в смысл величины. Полученное в одном опыте значение называют реализацией; оно не заменяет распределение всех возможных значений и их вероятностей.

Три примера

1. Бросаем честную кость и определяем $X$ как индикатор чётности: 1 для чётного, 0 для нечётного. Тогда $P(X=1)=3/6=1/2$, а не $1/6$.
2. Для двух независимых честных костей $X$ — сумма очков. Значение 4 возникает при парах $(1,3),(2,2),(3,1)$, поэтому $P(X=4)=3/36=1/12$.
3. При выборе коробки с вероятностями 0.6 и 0.4 число находящихся в ней карандашей равно соответственно 2 и 5. Закон величины состоит из этих двух значений с вероятностями 0.6 и 0.4; числа 3 и 4 невозможны.

Ошибки

Исход и значение величины — не одно и то же. Цвет шара сам по себе не число, но его можно кодировать индикатором; тогда нужно объяснить кодировку. Не следует автоматически считать значения равновозможными: сумма двух костей распределена неравномерно.