Школьный6 минут3 задачи с решениями

Непрерывная случайная величина

Вероятности интервалов, нулевая вероятность отдельной точки и роль точности измерений.

Перед чтением

Что вы разберёте в этой статье

Вероятности интервалов, нулевая вероятность отдельной точки и роль точности измерений.

Простыми словами

Случайная величина ставит каждому исходу в соответствие число. Её распределение показывает не только возможные значения, но и вероятность каждого из них.

Основные понятия

непрерывность
интервал
измерение

Как читать формулы

Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.

Как закрепить

После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.

Раздел: Случайные величины · школьная привязка: 11 класс

От точек к интервалам

В основных примерах непрерывная случайная величина описывает измерение: время, длину, положение. Здесь мы изучаем величины с плотностью, то есть абсолютно непрерывные распределения. Их вероятность на интервале равна площади под графиком плотности. В более общей теории существуют непрерывные распределения без плотности; их не следует смешивать с этой моделью.

Для величины с плотностью $P(X=x)=0$ при любом фиксированном $x$ . Это не означает, что измерение не даёт никакого значения. Вероятность характеризует заранее заданное событие, а отдельная точка имеет нулевую длину. Независимо от того, включены ли концы интервала, его вероятность одна и та же.

Измерение и округление

При записи «время равно 2.3 секунды» прибор обычно округляет. Это означает некоторый интервал истинных значений, например от 2.25 до 2.35 при принятом правиле округления. Поэтому записанное значение может иметь положительную вероятность, хотя точное математическое равенство $X=2.3$ — нулевую.

Три примера

Точку выбирают равномерно на отрезке от 0 до 10. Вероятность попасть от 2 до 5 равна длине 3, делённой на 10: 0.3.
В той же модели вероятность точного попадания в число 4 равна нулю. Вероятность попадания от 3.9 до 4.1 равна $0.2/10=0.02$ .
Время равномерно на интервале от 0 до 1 секунды. При округлении до десятых запись 0.5 соответствует интервалу длины 0.1, поэтому вероятность этой записи равна 0.1.

Чего модель не обещает

Непрерывность не означает равномерность: разные интервалы одинаковой длины могут иметь разные вероятности. Плотность — не вероятность точки и может быть выше единицы. Для реальных данных модель нужно обосновать отдельно: непрерывная шкала прибора не доказывает конкретную форму распределения.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx

Формула словами: Для величины с плотностью f; вероятность отдельной точки равна 0.

Как применять: Перечислите значения величины, назначьте им вероятности и проверьте, что сумма вероятностей равна единице.

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Простой

X равномерна на [0,8]. Найдите P(2≤X≤4).

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Средний

X имеет плотность. Какова вероятность точного равенства X=7?

Сложный

X равномерна на [0,5]. Её округляют до целого ближайшего числа. Какова вероятность записи 2?

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.