Углублённый6 минут3 задачи с решениями

Интеграл и площадь под графиком

Готовимся к плотности вероятности: различаем значение функции и накопленную площадь.

Перед чтением

Что вы разберёте в этой статье

Готовимся к плотности вероятности: различаем значение функции и накопленную площадь.

Простыми словами

Здесь разбирается математический инструмент, который понадобится дальше. Сначала поймите смысл действия на простом числе или рисунке, а затем переходите к буквенной записи.

Основные понятия

интеграл
площадь
производная
плотность

Как читать формулы

Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.

Как закрепить

После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.

Раздел: Математическая основа · университетский уровень

Много маленьких вкладов

Определённый интеграл суммирует вклад функции вдоль интервала. Для неотрицательной непрерывной функции $f$ на $[a,b]$ он равен площади между графиком и осью. Идея вычисления — разбить интервал на короткие участки, сложить площади прямоугольников и уточнять разбиение.

Если функция бывает отрицательной, интеграл учитывает площади со знаком. Геометрическая площадь требует интегрировать модуль либо разбирать участки отдельно. В модели плотности отрицательных значений быть не должно, поэтому вероятность получается обычной неотрицательной площадью.

Производная и накопление

Первообразная $F$ имеет производную $f$ . Для непрерывной $f$ формула Ньютона–Лейбница даёт интеграл как $F(b)-F(a)$ . Слагаемая константа в первообразной исчезает при вычитании. Нижний и верхний пределы — границы накопления, а буква $x$ внутри интеграла является переменной интегрирования.

Например, первообразная $2x$ — $x^2$ . Поэтому интеграл $2x$ от $0$ до $1$ равен $1$ . Это ещё не делает функцию $2x$ плотностью на всей прямой: нужно задать её равной нулю вне $[0,1]$ и проверить нормировку.

Вероятность не равна высоте

Значение плотности в точке может превосходить единицу. Вероятность интервала зависит от площади, то есть от высоты вместе с шириной. У равномерной модели на $[0,0{,}5]$ плотность равна $2$ , но вся площадь $2\cdot0{,}5=1$ .

Это дополнительная подготовка к непрерывным распределениям, а не полный курс анализа. Без условия существования плотности нельзя автоматически представлять всякую вероятность интегралом обычной функции.

Три примера

Постоянная функция $f=3$ на $[1,4]$ имеет интеграл $3(4-1)=9$ .
Для $f(x)=2x$ на $[0,1]$ площадь до $1/2$ равна $(1/2)^2=1/4$ .
Плотность равномерной модели на $[2,6]$ равна $1/4$ . Вероятность попасть между $3$ и $5$ — площадь $2\cdot1/4=1/2$ , а не высота $1/4$ .

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),\qquad F'=f

Формула словами: Формула Ньютона–Лейбница для непрерывной f и её первообразной F.

Как применять: Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.

P(a<X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx

Формула словами: Если X имеет плотность f, вероятность интервала равна площади под неотрицательной плотностью.

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Простой

Найдите интеграл постоянной функции 4 от 0 до 3.

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Средний

Плотность равна 2 на [0;0,5] и нулю вне. Какова вероятность попасть в [0;0,1]?

Сложный

Для плотности f(x)=2x на [0;1] найдите вероятность X>0,5.

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.