Функция и знак суммы

Правило, вход и выход

Функция сопоставляет каждому допустимому входу ровно один выход. В записи $y=f(x)$ буква $x$ обозначает аргумент, а $f(x)$ — значение. Например, правило $f(x)=x^2$ даёт $f(3)=9$ и $f(-3)=9$: разные входы могут иметь одинаковый выход.

Область определения указывает, какие входы допустимы. У $f(x)=1/x$ исключён ноль. У вероятностной функции числа успехов вход $k$ обычно целый; подстановка $k=2{,}5$ не обязана иметь смысл в модели.

Сумма — короткая запись повторений

Большая греческая буква $\Sigma$ обозначает суммирование. Нижняя подпись задаёт начальный индекс, верхняя — конечный. Запись $\sum_{i=1}^4 i^2$ означает $1^2+2^2+3^2+4^2$. Индекс является местным обозначением: переименование $i$ в $j$ не меняет сумму.

Число слагаемых в $\sum_{i=r}^s a_i$ при целых $r\le s$ равно $s-r+1$, а не $s-r$. Для пустого набора индексов принято считать сумму нулём. Эта договорённость делает формулы на границах единообразными.

Условия преобразований

Для конечной суммы можно переставлять и группировать слагаемые, выносить общий множитель. Если суммируется константа $c$, результат равен $nc$. Для бесконечных рядов перестановки и предельные переходы требуют отдельных условий; правила этой статьи относятся прежде всего к конечным суммам.

Скобки определяют, что зависит от индекса. В $\sum_{i=1}^n (x_i-\overline x)$ среднее $\overline x$ одно и то же для всех слагаемых, поэтому сумма отклонений равна нулю.

Три примера

1. $\sum_{i=1}^3 2i=2+4+6=12$.
2. $\sum_{k=0}^3 1=4$: индекс принимает четыре значения, включая ноль.
3. Для $x_1=2,x_2=5,x_3=8$ среднее равно $5$, поэтому $\sum_{i=1}^3(x_i-5)=-3+0+3=0$. Нулевой итог не означает, что каждое отклонение нулевое.