Среднее арифметическое

Если распределить сумму поровну

Среднее арифметическое набора чисел — их сумма, делённая на количество. Если три человека собрали $2$, $5$, $8$ яблок, всего получилось $15$. При равном распределении каждый получил бы $15/3=5$. Это и есть среднее, хотя исходные количества были разными.

Каждое наблюдение участвует один раз, включая повторяющиеся значения. У набора $2,2,8$ среднее $(2+2+8)/3=4$, а не среднее двух различных значений $2$ и $8$.

Что можно узнать из среднего

Если известно среднее $\overline x$ и число наблюдений $n$, можно восстановить сумму $n\overline x$. Для $6$ наблюдений со средним $4$ сумма равна $24$. Сам набор при этом неизвестен: одну и ту же сумму могут иметь разные данные.

Среднее находится между минимумом и максимумом. Если ко всем значениям добавить $c$, среднее тоже увеличится на $c$. Единицы среднего совпадают с единицами исходных данных: среднее время измеряется во времени, а не в «процентах времени».

Где возникает путаница

Среднее не обязано быть одним из наблюдавшихся значений. У результатов $1,2$ оно равно $1{,}5$. «В среднем $1{,}5$ посещения» не означает, что кто-то совершил половину посещения: число описывает группу.

Выброс может сильно сдвинуть среднее. У набора $3,4,5$ среднее $4$, а у $3,4,50$ — $19$. Чтобы описать типичный уровень, полезно сопоставить среднее с медианой и посмотреть на сами значения.

Средние групп нельзя безусловно усреднять пополам. Если в маленькой группе два человека, а в большой восемь, большая группа должна иметь больший вес. Для таблицы частот каждое значение умножают на число его наблюдений.

Три примера

1. Время четырёх поездок: $12$, $15$, $9$, $16$ минут. Среднее $(12+15+9+16)/4=13$ минут.
2. У трёх наблюдений среднее равно $7$. Два значения — $4$ и $8$. Общая сумма $21$, поэтому третье значение $21-4-8=9$.
3. В группе из $2$ человек среднее число книг $6$, в группе из $8$ — $1$. Общая сумма $2\cdot6+8\cdot1=20$, среднее $20/10=2$. Простое среднее $6$ и $1$, равное $3{,}5$, здесь неверно.

Среднее наблюдений и математическое ожидание вероятностной модели связаны, но не тождественны: первое считается по данным, второе — по закону распределения.