Медиана

Середина после сортировки

Чтобы найти медиану числового набора, сначала расположите все наблюдения по возрастанию, сохраняя повторы. При нечётном числе наблюдений медиана — центральное значение. При чётном в школьной статистике обычно берут среднее арифметическое двух центральных значений. Именно это соглашение использует наш калькулятор.

Например, запись $9,2,5$ сначала превращается в $2,5,9$. Медиана равна $5$. Взять центральный элемент первоначального списка и получить $2$ было бы ошибкой: порядок ввода не имеет значения.

Как читать индексы

Скобки в $x_{(i)}$ означают $i$-е по порядку значение после сортировки, а не исходный номер наблюдения. Для пяти значений центральная позиция третья. Для шести — третья и четвёртая, поэтому их нужно сложить и разделить на два.

У пустого набора медиана не определена. У набора из одного числа она равна этому числу. Для чётного набора медиана может не встречаться в данных: у $1,3,8,10$ она равна $(3+8)/2=5{,}5$.

Медиана и необычные значения

Медиана зависит прежде всего от порядка, поэтому далёкое крайнее значение часто влияет на неё меньше, чем на среднее. В наборах $2,3,4,5,6$ и $2,3,4,5,60$ медиана одинакова — $4$. Среднее меняется с $4$ до $14{,}8$.

Это не означает, что медиана не меняется никогда. Если добавить новые наблюдения, изменятся количество и центральные позиции. Также медиана не рассказывает о разбросе: у $1,5,9$ и $4,5,6$ она одинакова, хотя наборы устроены по-разному.

При повторах фраза «ровно половина значений меньше медианы» может быть неверна. Надёжная формулировка: не менее половины наблюдений не больше медианы и не менее половины не меньше её.

Три примера

1. Данные: $7,1,4,4,9$. После сортировки $1,4,4,7,9$; третье значение и медиана равны $4$.
2. Данные: $10,2,6,4$. Упорядочиваем: $2,4,6,10$. Медиана $(4+6)/2=5$; среднее $(2+4+6+10)/4=5{,}5$.
3. Значение $2$ встречается трижды, $5$ — дважды, $9$ — один раз. Полный набор $2,2,2,5,5,9$ содержит шесть наблюдений. Медиана $(2+5)/2=3{,}5$, а не медиана трёх разных значений $2,5,9$.