Бином Ньютона

От умножения к формуле

Бином Ньютона раскрывает $(a+b)^n$ при неотрицательном целом $n$. В произведении из $n$ одинаковых скобок выбираем из каждой либо $a$, либо $b$. Чтобы получить $a^{n-k}b^k$, нужно выбрать ровно $k$ скобок, из которых взято $b$. Способов сделать это $\binom nk$, поэтому такой коэффициент и появляется.

В каждом слагаемом сумма показателей степеней равна $n$. Индекс $k$ пробегает значения от 0 до $n$, так что слагаемых до объединения возможных числовых значений ровно $n+1$. Для обычных чисел перестановка множителей допустима. Для матриц формула без дополнительных условий неверна: умножение может быть некоммутативным.

Разность и вероятность

Чтобы раскрыть $(a-b)^n$, подставляют $-b$ вместо $b$: знаки чередуются, но коэффициенты остаются теми же. Если $a=p$, $b=1-p$, сумма равна 1. Это объясняет нормировку биномиальных вероятностей при $0\le p\le1$; сама алгебраическая формула не требует этих вероятностных ограничений.

Три примера

1. $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$. Коэффициенты 1, 3, 3, 1 — строка Паскаля с номером 3.
2. Коэффициент при $x^2$ в $(1+2x)^4$ равен $\binom42\cdot2^2=6\cdot4=24$. Множитель 2 тоже возводится в степень.
3. $(1-p)^2=1-2p+p^2$. При $p=0.3$ получается $1-0.6+0.09=0.49$, что совпадает с $0.7^2$.

Ошибки и границы

Нельзя заменять $(a+b)^n$ на $a^n+b^n$: смешанные слагаемые обычно не исчезают. У выражения $(2x-3)^n$ следует учитывать и знак, и степени числовых множителей. Для нецелых показателей существует обобщённый бесконечный ряд с условиями сходимости, но конечная формула этой статьи к нему напрямую не относится.