Схема Бернулли

Когда повторения устроены одинаково

Схема Бернулли — $n$ независимых испытаний, в каждом из которых фиксируется успех или неудача, а вероятность успеха $p$ одинакова. Слово «успех» — условное название события: им может быть и обнаруженный дефект.

Важны три условия: два класса результатов, независимость всех испытаний в совокупности и постоянное $p$. Броски одинаково настроенной виртуальной монеты подходят модели. Извлечение шаров без возвращения обычно не подходит: состав меняется, а результаты зависят друг от друга.

От одного порядка к любому

Пусть в трёх испытаниях нужен ровно один успех. Подходят последовательности УНН, НУН и ННУ. При независимости вероятность каждой $p(1-p)^2$. Последовательности несовместимы, поэтому складываем их вероятности и получаем $3p(1-p)^2$.

В общем случае последовательность с $k$ успехами имеет вероятность $p^k(1-p)^{n-k}$. Выбрать позиции успехов можно $\binom nk$ способами. Произведение этих двух величин и даёт формулу Бернулли.

В записи $n!$ факториал — произведение целых от $1$ до $n$; отдельно принято $0!=1$. Для $n=4$, $k=2$ получаем $\binom42=4!/(2!2!)=6$.

Границы и смысл результата

Число испытаний $n$ — неотрицательное целое, $k$ — целое от $0$ до $n$. При $p=0$ успехов всегда ноль; при $p=1$ их всегда $n$. При $n=0$ число успехов равно нулю с вероятностью $1$. Эти случаи лучше описывать явно, не споря о записи $0^0$.

Вероятность ровно $k$ успехов не равна вероятности не менее $k$. Для «не менее» суммируют вероятности допустимых значений или используют противоположное событие. Среднее ожидаемое число успехов $np$ также не является гарантированным результатом отдельной серии.

Три примера

1. Три броска честной монеты, ровно два орла: $\binom32(1/2)^2(1/2)=3/8$.
2. Четыре независимых попытки с $p=0{,}2$, ровно один успех: $4\cdot0{,}2\cdot0{,}8^3=0{,}4096$.
3. Из мешка с двумя красными и двумя синими шарами берут два без возвращения. Вероятность двух красных $(2/4)(1/3)=1/6$, а не $(1/2)^2=1/4$. Проверка условий не позволяет применить схему Бернулли к этому опыту.

Схема Бернулли описывает устройство испытаний. Теорема о приближении частоты к $p$ — следующий, отдельный результат.