Классическая вероятность

Доля подходящих исходов

Если в опыте конечное число равновозможных исходов, вероятность события равна доле исходов, при которых оно происходит. Для честного шестигранного кубика каждый из шести исходов имеет вероятность $1/6$. Событие «число больше четырёх» содержит два исхода: $5$ и $6$. Значит, его вероятность $2/6=1/3$.

Буква $n$ обозначает количество всех исходов, $m$ — благоприятных. «Благоприятный» означает подходящий условию, а не хороший для человека. Если изучаем неисправность, неисправный прибор — благоприятный исход для этого события.

Почему равновозможность необходима

У погоды можно назвать два результата: дождь и отсутствие дождя. Из этого не следует вероятность дождя $1/2$. Количество названий не определяет их вероятности.

При двух независимых бросках честной монеты четыре равновероятные последовательности: $\text{ОО}$, $\text{ОР}$, $\text{РО}$, $\text{РР}$. Но три значения числа орлов $0$, $1$, $2$ имеют вероятности $1/4$, $1/2$, $1/4$. Делить на три при подсчёте вероятности одного орла было бы ошибкой.

Как решать задачу

1. Зафиксируйте опыт и событие.
2. Выберите конечные исходы и обоснуйте их равновозможность.
3. Посчитайте все исходы и подходящие по одному и тому же правилу.
4. Разделите и проверьте, что ответ лежит от $0$ до $1$.

Если исходов много, можно использовать сочетания или правило умножения. Но числитель и знаменатель должны описывать одинаковые объекты: нельзя считать пары без порядка в числителе и последовательности с порядком в знаменателе.

Три примера

1. Из $12$ одинаковых на ощупь жетонов $5$ синие. При равномерном выборе вероятность синего — $5/12$.
2. Для двух независимых честных кубиков $6\cdot6=36$ равновозможных упорядоченных пар. Сумма $7$ получается шестью способами: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$. Вероятность $6/36=1/6$.
3. Выбираем два разных номера из $1,2,3,4$ равномерно без учёта порядка. Всего шесть пар: $12,13,14,23,24,34$. Два чётных номера есть только в паре $24$, значит вероятность $1/6$.

Лаборатория приближает теоретическую вероятность частотой в серии опытов. Расхождение после конечного числа повторов само по себе не опровергает модель.