Школьный7 минут3 задачи с решениями

Частота и вероятность

Различаем количество успехов, их долю в наблюдениях и вероятность в математической модели.

Перед чтением

Что вы разберёте в этой статье

Различаем количество успехов, их долю в наблюдениях и вероятность в математической модели.

Простыми словами

Вероятность — это число от нуля до единицы, показывающее, насколько возможным считается событие в выбранной модели. Сначала всегда описывают опыт и его исходы, и лишь затем считают.

Основные понятия

частота
относительная частота
наблюдения
оценка

Как читать формулы

Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.

Как закрепить

После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.

Раздел: Основы вероятности · школьная привязка: 7, 10 класс

Что уже произошло

Монету бросили $100$ раз и получили $56$ орлов. Абсолютная частота орла — $56$ , относительная — $56/100=0{,}56$ , или $56\%$ . Частота описывает записанные данные. Вероятность $p$ относится к модели одного испытания.

Если монета в модели честная, $p=0{,}5$ . Это не требование получить ровно $50$ орлов в каждой сотне бросков. Две одинаково устроенные серии могут дать разные частоты. По данным можно оценивать неизвестную вероятность, но оценка не становится точной истиной только потому, что её записали десятичной дробью.

У частоты есть знаменатель

Фраза «было $20$ успехов» неполна для сравнения. Двадцать из двадцати — частота $1$ ; двадцать из тысячи — $0{,}02$ . Если испытаний ещё не было, $n=0$ , относительная частота не определена, а не равна нулю.

Чтобы объединить две серии, складывают числа успехов и испытаний. В серии из $10$ попыток было $8$ успехов, в серии из $90$ — $36$ . Общая частота $(8+36)/(10+90)=0{,}44$ . Простое среднее $0{,}8$ и $0{,}4$ дало бы неправильные $0{,}6$ .

Когда данные говорят о вероятности

Для оценки одной постоянной вероятности нужны сопоставимые испытания: одинаково определённое событие, устойчивые условия, отсутствие систематического отбора. Независимость и одинаковая вероятность позволяют применить стандартную модель повторных испытаний.

Если опрашивать только посетителей одного кружка, большая выборка сама по себе не устраняет смещение. Если вероятность меняется со временем, общая частота смешивает разные условия. «Больше наблюдений» полезно, когда понятно, что именно наблюдается.

Три примера

Кубик показал шестёрку $17$ раз из $120$ . Частота $17/120\approx0{,}1417$ . Для честного кубика модельная вероятность $1/6\approx0{,}1667$ .
После первых $10$ бросков было $6$ орлов. Одиннадцатый бросок дал решку: новая частота $6/11\approx0{,}5455$ , а не $0{,}5$ .
В первой серии $30$ успехов из $50$ , во второй $20$ из $50$ . В объединённой серии $50/100=0{,}5$ . Здесь простое среднее двух частот подходит именно потому, что размеры серий равны.

На графике лаборатории частота может удаляться от теоретической линии, а затем приближаться снова. Более длинная серия не означает улучшения на каждом шаге.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

\nu_n(A)=\frac{m_n(A)}{n},\qquad n\ge1

Формула словами: Относительная частота — число наблюдавшихся успехов, делённое на число испытаний.

Как применять: Назовите событие, определите пространство исходов и проверьте предположения модели: конечность, равновозможность или известные вероятности.

\nu_{n_1+n_2}=\frac{n_1\nu_{n_1}+n_2\nu_{n_2}}{n_1+n_2}

Формула словами: Частоты двух серий объединяем с весами, равными размерам серий.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Монета Лаборатория: Игральный кубик Вероятность события Описательная статистика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Простой

В 50 бросках монеты выпало 28 орлов. Чему равна относительная частота орла?

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Средний

В первой серии было 8 успехов из 10, во второй — 36 из 90. Найдите относительную частоту успеха в объединённой серии.

Сложный

В первых 20 бросках было 8 орлов. Затем выпало ещё 5 орлов подряд. Какова относительная частота орла после всех бросков?

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.