Противоположное событие

Событие и всё остальное

Противоположное к $A$ событие, обозначаемое $\overline A$, происходит ровно тогда, когда $A$ не происходит. Оно содержит все оставшиеся исходы того же эксперимента. При броске кубика противоположное к «выпала шестёрка» — «выпало число от одного до пяти».

События $A$ и $\overline A$ не могут произойти одновременно и вместе покрывают всё пространство исходов. Поэтому их вероятности в сумме равны $1$. Для этой формулы не нужны ни равновозможность исходов, ни независимость.

Отрицайте всё условие

Противоположное к «хотя бы один успех» — «ни одного успеха». Противоположное к «ровно один успех» — «ноль или не менее двух успехов». «Хотя бы один» и «ровно один» — разные условия.

Для числового результата противоположное к $X\ge3$ — $X<3$, а противоположное к $X>3$ — $X\le3$. Граница должна попасть ровно в одну из двух частей. Если $X$ — целое число успехов, условие $X<3$ можно записать $X\le2$.

Два несовместимых события ещё не обязательно противоположны. «Выпала единица» и «выпала двойка» не могут произойти вместе, но не охватывают остальные грани кубика.

Когда так считать проще

Если подходящих исходов много, а неподходящих мало, сначала посчитайте вероятность противоположного события. Например, в двух независимых бросках кубика хотя бы одна шестёрка возникает многими путями. Ни одной шестёрки — простой путь: $(5/6)^2$. Искомая вероятность $1-25/36=11/36$.

Три примера

1. Вероятность задержки равна $0{,}12$. Вероятность отсутствия задержки — $1-0{,}12=0{,}88$, если оба события определены в одной модели поездки.
2. В $20$ равновозможных билетах $3$ выигрышных. Вероятность не выиграть $17/20=0{,}85$, что совпадает с $1-3/20$.
3. Для числа успехов $X$ известно $P(X=0)=0{,}1$ и $P(X=1)=0{,}3$. События $X=0$ и $X=1$ несовместимы. Поэтому $P(X\ge2)=1-(0{,}1+0{,}3)=0{,}6$.

Формула дополнения проста; основная работа — правильно сформулировать противоположное событие.