Школьный7 минут3 задачи с решениями

Хотя бы один успех

Вычисляем вероятность одного или нескольких успехов через вероятность полного отсутствия успехов.

Перед чтением

Что вы разберёте в этой статье

Вычисляем вероятность одного или нескольких успехов через вероятность полного отсутствия успехов.

Простыми словами

Повторные испытания описывают серию однотипных попыток. Важно различать конкретный порядок успехов и само количество успехов в серии.

Основные понятия

хотя бы один
ни одного
повторения
независимость

Как читать формулы

Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.

Как закрепить

После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.

Раздел: Повторные испытания · школьная привязка: 9, 10 класс

Один, два и больше

«Хотя бы один успех» означает один или больше. В трёх бросках монеты это один, два или три орла. Прямой подсчёт складывает несколько случаев; дополнение объединяет всё, что не подходит, в одно условие — «ни одного орла».

В одном испытании вероятность неудачи $1-p$ . Для $n$ независимых испытаний с тем же $p$ вероятность всех неудач равна $(1-p)^n$ . Вычитаем её из единицы.

Условия нельзя пропускать

Вычесть вероятность противоположного события из $1$ можно всегда. Возвести $1-p$ в степень $n$ можно именно при независимости и постоянном $p$ . Если независимые попытки имеют разные вероятности $p_1,\ldots,p_n$ , перемножаем соответствующие вероятности неудач.

Для зависимых попыток нужны условные вероятности. Если первый результат полностью определяет второй, добавление второй записи не создаёт нового шанса. Например, два индикатора, копирующие один бросок монеты, не дают вероятность $3/4$ увидеть хотя бы один орёл: она остаётся $1/2$ .

Сколько попыток нужно

Хотим получить вероятность не ниже $0{,}9$ при $p=0{,}5$ . Для трёх попыток $1-0{,}5^3=0{,}875$ — мало. Для четырёх $1-0{,}5^4=0{,}9375$ — достаточно. Проверка соседних целых помогает найти минимальное число попыток.

Для $0<p<1$ и $0<r<1$ неравенство $1-(1-p)^n\ge r$ даёт $n\ge\ln(1-r)/\ln(1-p)$ . Знак меняется при делении, потому что $\ln(1-p)<0$ . Итог округляют вверх и проверяют подстановкой. Это дополнительный способ для тех, кто уже знаком с логарифмами.

Три примера

Два независимых броска честной монеты. Хотя бы один орёл: $1-(1/2)^2=3/4$ .
Три независимые попытки с $p=0{,}2$ . Хотя бы один успех: $1-0{,}8^3=0{,}488$ . Вероятность ровно одного здесь $3\cdot0{,}2\cdot0{,}8^2=0{,}384$ — другое событие.
Две независимые попытки с вероятностями $0{,}2$ и $0{,}5$ . Хотя бы один успех: $1-(1-0{,}2)(1-0{,}5)=0{,}6$ .

При нуле попыток вероятность хотя бы одного успеха равна $0$ . При $p=0$ она остаётся нулевой для любого числа попыток; при $p=1$ уже одна попытка даёт успех достоверно. Для $0<p<1$ конечное число попыток не даёт точной гарантии $100\%$ .

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(X\ge1)=1-(1-p)^n

Формула словами: n независимых испытаний с одинаковой вероятностью успеха p.

Как применять: Запишите число испытаний, вероятность успеха и требуемое число успехов; отдельно учтите число возможных расположений успехов.

P(\text{хотя бы один})=1-\prod_{i=1}^{n}(1-p_i)

Формула словами: При независимости вероятности отдельных успехов могут различаться.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Монета Лаборатория: Игральный кубик Хотя бы один успех Формула Бернулли

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Простой

Честную монету независимо бросают дважды. Какова вероятность хотя бы одного орла?

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Средний

В трёх независимых попытках вероятность успеха в каждой равна 0,2. Какова вероятность хотя бы одного успеха?

Сложный

Вероятность успеха в каждой независимой попытке равна 1/2. Какое минимальное число попыток даст вероятность хотя бы одного успеха не меньше 0,9?

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.