Условная вероятность

Информация меняет круг возможного

Бросили честный кубик и сообщили, что выпало чётное число. Теперь возможны только $2$, $4$, $6$. Вероятность шестёрки при этом условии равна $1/3$, хотя до сообщения она была $1/6$.

Запись $P(A\mid B)$ читают «вероятность события $A$ при условии $B$». Вертикальная черта не означает деление: она отделяет вопрос от уже известной информации. В конечной равновозможной модели мы оставляем исходы из $B$ и среди них считаем исходы из $A$.

Общая формула

Сначала выделим $A\cap B$ — исходы, при которых происходят оба события. Деление $P(A\cap B)/P(B)$ пересчитывает их долю внутри условия $B$. Требование $P(B)>0$ обязательно. При нулевой вероятности условия эта элементарная формула не определяет условную вероятность.

Например, если $P(B)=0{,}4$ и $P(A\cap B)=0{,}1$, то $P(A\mid B)=0{,}25$. Вероятность пересечения не может превышать вероятность условия; иначе исходные данные противоречивы.

Условность не симметрична

$P(A\mid B)$ и $P(B\mid A)$ обычно разные. В группе $30$ человек: $12$ изучают английский, $8$ — немецкий, $4$ — оба языка. При равномерном выборе человека вероятность немецкого среди изучающих английский $4/12=1/3$. Вероятность английского среди изучающих немецкий $4/8=1/2$.

События независимы, если $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. При $P(B)>0$ это означает $P(A\mid B)=P(A)$: информация о $B$ не меняет вероятность $A$. Несовместимость и независимость не одно и то же: два несовместимых события положительной вероятности зависимы.

Три примера

1. На честном кубике известно, что число больше трёх. Условие даёт $\{4,5,6\}$, чётные среди них $\{4,6\}$. Вероятность $2/3$.
2. В мешке $3$ красных и $2$ синих шара. Первый оказался красным и не возвращён. Для второго остаются $2$ красных из $4$, условная вероятность красного $1/2$. Вероятность двух красных подряд $(3/5)(2/4)=3/10$.
3. У двух независимых бросков честной монеты вероятность орла во втором при решке в первом остаётся $1/2$. Условие ничего не изменило благодаря допущению независимости.

При извлечении с возвращением состав мешка восстанавливается. При независимом равномерном новом выборе вероятность второго красного снова была бы $3/5$.