Число успехов

Что именно считаем

Число успехов $X$ — количество испытаний, в которых произошло заранее выбранное событие «успех». Слово не означает положительной оценки: успехом можно назвать обнаружение брака. До серии $X$ неизвестно, после серии это целое число от 0 до $n$.

При независимых испытаниях с одной вероятностью успеха $p$ величина $X$ имеет биномиальное распределение. Конкретная последовательность из $k$ успехов и $n-k$ неудач имеет вероятность $p^k(1-p)^{n-k}$. Таких последовательностей $\binom nk$, поэтому для «ровно $k$» нужно умножить на число сочетаний.

Предпосылки

Количество испытаний фиксировано заранее; вероятность успеха не меняется после наблюдений. При $p=0$ всегда $X=0$, при $p=1$ всегда $X=n$. На границах удобнее рассуждать непосредственно, не споря о записи $0^0$. Сумма вероятностей всех значений равна единице по биному Ньютона.

Три примера

1. В трёх бросках честной монеты для ровно двух орлов есть три позиции единственной решки: $P(X=2)=3/8$.
2. В четырёх независимых испытаниях $p=0.2$. Вероятность ровно одного успеха равна $4\cdot0.2\cdot0.8^3=0.4096$.
3. В пяти испытаниях с $p=0.6$ вероятность всех пяти успехов равна $0.6^5=0.07776$. Коэффициент $\binom55=1$: порядок единственный.

Частые ошибки

Вероятность одной последовательности не отвечает на вопрос о любом порядке. Повторное умножение на факториал, наоборот, учитывает последовательности многократно. При разных вероятностях успеха обычная биномиальная формула не подходит. При выборке без возвращения из конечной совокупности нужна другая модель, хотя само название «число успехов» остаётся корректным.