Математическое ожидание

Среднее по вероятностям

Математическое ожидание — среднее значение, взвешенное вероятностями распределения. В конечном дискретном случае каждое возможное значение умножают на его вероятность и складывают. Это характеристика модели до опыта, а не среднее уже собранной выборки.

Ожидание может не совпадать ни с одним возможным результатом. Для честной кости оно равно 3.5, хотя такого числа очков нет. При подходящих условиях средние большого числа независимых повторений приближаются к ожиданию; один результат такого обещания не получает.

Линейность и существование

Ожидание суммы равно сумме ожиданий даже для зависимых величин, если ожидания конечны. Постоянный сдвиг переносит среднее, масштабирование умножает его. Для бесконечных законов нужна проверка сходимости: бесконечная сумма не автоматически задаёт конечное число. Для величины с плотностью аналогом служит интеграл $\int xf(x)\,dx$ с соответствующим условием интегрируемости.

Три примера

1. За опыт получаем 0 с вероятностью 0.7 и 10 с вероятностью 0.3. Ожидание $0\cdot0.7+10\cdot0.3=3$. Это не обещание получить три единицы в следующем опыте.
2. В билете выплата 100 с вероятностью 0.1 и 0 иначе, цена билета 12. Ожидание чистого результата $100\cdot0.1-12=-2$: цену нужно вычесть.
3. В десяти испытаниях вероятность успеха каждого 0.4. Число успехов — сумма десяти индикаторов, поэтому ожидание равно 4 даже без независимости. Для биномиального закона независимость уже нужна.

Ошибки

В общем случае $E[X^2]\ne(E[X])^2$ и $E[1/X]\ne1/E[X]$. Для произведения равенство $E[XY]=E[X]E[Y]$ требует дополнительных условий, например независимости и интегрируемости. Среднее не показывает риск и разброс: две игры с одинаковым ожиданием могут иметь совершенно разные распределения.