Закон распределения

Что задаёт закон

Закон распределения сообщает, с какой вероятностью случайная величина попадает в каждое допустимое множество значений. В конечном дискретном случае достаточно таблицы всех значений и вероятностей. Для величины с плотностью закон задаётся плотностью через интегралы. Универсальный одномерный способ — функция распределения $F(x)=P(X\le x)$.

Закон относится к числовой величине, а не ко всем подробностям исходного опыта. Два разных механизма могут давать одинаковое распределение. Например, индикатор чётности честной кости и индикатор орла честной монеты оба принимают 0 и 1 с вероятностями по $1/2$.

Как составлять таблицу

Сначала перечисляют возможные значения без повторений. Затем для каждого значения объединяют все исходы, которые его дают, и складывают их вероятности. Наконец проверяют неотрицательность и сумму 1. Если часть значений невозможна, им соответствует нулевая вероятность; в краткой таблице их обычно не пишут.

Три примера

1. За игру платят 10 жетонов при орле и 0 при решке. Закон выигрыша: значения 0 и 10 с вероятностями $1/2$ и $1/2$.
2. За два независимых броска честной монеты начисляют по одному баллу за орла. Значения 0, 1, 2 имеют вероятности $1/4,1/2,1/4$, а не по одной трети.
3. В таблице значения $-1,0,2$ имеют вероятности 0.2, $a$, 0.5. Из нормировки $a=0.3$. Тогда $P(X\ne0)=0.7$.

Границы информации

Одинаковые средние не означают одинаковые законы. Даже совпадение среднего и дисперсии не определяет распределение полностью. По отдельным законам $X$ и $Y$ нельзя восстановить закон их суммы без информации о совместном поведении; независимость является такой дополнительной информацией. Наблюдаемая таблица частот — оценка закона, а не доказательство точных вероятностей.