Школьный6 минут3 задачи с решениями

Дискретная случайная величина

Конечные и счётные наборы значений, таблица вероятностей и вероятность события.

Перед чтением

Что вы разберёте в этой статье

Конечные и счётные наборы значений, таблица вероятностей и вероятность события.

Простыми словами

Случайная величина ставит каждому исходу в соответствие число. Её распределение показывает не только возможные значения, но и вероятность каждого из них.

Основные понятия

дискретность
вероятностная масса
счётное множество

Как читать формулы

Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.

Как закрепить

После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.

Раздел: Случайные величины · школьная привязка: 9, 10, 11 класс

Отдельные значения

Дискретная случайная величина принимает значения из конечного или счётного множества с суммарной вероятностью 1. Счётность означает возможность перечислить значения последовательностью: первое, второе и так далее. Число посетителей за час и номер первой успешной попытки дискретны. Дискретные значения не обязаны быть целыми: призы 0, 2.5 и 7.5 единицы тоже образуют конечный набор.

Каждому значению $x_i$ сопоставляют вероятность $p_i$ . Это функция вероятностной массы, часто называемая PMF. Её столбцы по высоте показывают вероятности отдельных точек. Все высоты неотрицательны и в сумме дают 1.

Как вычислять событие

Условие на $X$ переводят в перечень подходящих значений, затем складывают соответствующие массы. Не подходят — значит не включаются, даже если между двумя допустимыми значениями лежит целый интервал вещественных чисел. Плотность для такого подсчёта не нужна.

Три примера

$X$ принимает 0, 1 и 2 с вероятностями 0.2, 0.5 и 0.3. Тогда $P(X\ge1)=0.5+0.3=0.8$ .
Номер первого орла в независимых бросках честной монеты может быть любым натуральным числом. Его вероятности $1/2,1/4,1/8,\ldots$ суммируются в 1: бесконечное множество значений не делает величину непрерывной.
Величина принимает 1.5 и 3.5 с равными вероятностями. Событие $2<X<3$ невозможно, хотя его границы лежат между возможными значениями.

Типичные ошибки

Нельзя путать массу с частотой конечной выборки: наблюдаемые доли могут отклоняться от модели. Если таблица перечисляет все значения, а вероятности суммируются в 0.9, модель неполна или ошибочна. Округлённые измерения могут давать дискретную запись даже при непрерывной модели самой физической величины.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(X\in B)=\sum_{x_i\in B}p_i,\qquad p_i=P(X=x_i)

Формула словами: Для дискретной величины: pᵢ ≥ 0, сумма всех pᵢ равна 1.

Как применять: Перечислите значения величины, назначьте им вероятности и проверьте, что сумма вероятностей равна единице.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Игральный кубик

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Простой

X принимает 0, 2, 4 с вероятностями 0.1, 0.6, 0.3. Найдите P(X=2).

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Средний

X принимает 1, 3, 5 с вероятностями 0.2, 0.3, 0.5. Найдите P(X>2).

Сложный

X принимает −2, 0, 3 с вероятностями 0.25, a, 0.35. Найдите P(X≤0).

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.