Функция распределения

Накопленная вероятность

Функция распределения $F(x)$ — вероятность того, что величина не превосходит заданную границу $x$. Здесь используется соглашение $F(x)=P(X\le x)$. Встречается и соглашение со строгим неравенством; в дискретной точке они различаются, поэтому определение нужно проверять.

Функция не убывает, принимает значения от 0 до 1, стремится к 0 при $x\to-\infty$ и к 1 при $x\to+\infty$. Она непрерывна справа. Скачок в точке $a$ равен вероятности $P(X=a)$: из накопленной массы справа вычитают левый предел.

Вероятности интервалов

Разность $F(b)-F(a)$ соответствует интервалу $(a,b]$, а не автоматически $[a,b]$. Для включения левой границы надо добавить $P(X=a)$ или использовать левый предел $F(a-)$. При распределении с плотностью вероятности точек нулевые, и виды скобок результата не меняют.

Три примера

1. $X$ принимает 0 и 2 с вероятностями 0.3 и 0.7. Тогда $F(x)=0$ при $x<0$, $F(x)=0.3$ при $0\le x<2$ и $F(x)=1$ при $x\ge2$.
2. Для этого закона $F(2)-F(0)=1-0.3=0.7$. Это $P(0<X\le2)$; вероятность $P(0\le X\le2)$ равна 1.
3. При равномерном выборе на $[0,4]$ внутри отрезка $F(x)=x/4$. Поэтому $P(1<X\le3)=3/4-1/4=1/2$.

Ошибки чтения

Высота $F(x)$ не является вероятностью точки $x$. Для точки нужен размер скачка, а при непрерывной функции он ноль. Возрастающий график сам по себе недостаточен: нужны правильные предельные значения и правосторонняя непрерывность. Функция распределения удобна тем, что одинаково работает с дискретной, непрерывной и смешанной моделью.