Квантили, квартили и процентили

Порог накопленной доли

Квантиль уровня $p$ распределения — порог, к которому накопленная вероятность достигает $p$. Для однозначности здесь используем нижний квантиль $\inf\{x:F(x)\ge p\}$. Медиана соответствует уровню 0.5; квартили $Q_1,Q_2,Q_3$ — уровням 0.25, 0.5 и 0.75. Девяностый процентиль — квантиль уровня 0.9.

Для конечной выборки есть несколько распространённых способов оценивания квантилей. Они могут давать разные числа, особенно при малом количестве наблюдений. Это различие соглашений, а не обязательно ошибка вычисления.

Правило нашего калькулятора

Сортируем данные $x_{(1)}\le\cdots\le x_{(n)}$. Используем линейную интерполяцию R7: позиция $h=1+(n-1)p$. Если позиция целая, берём соответствующий элемент; иначе смешиваем соседние пропорционально дробной части. При $p=0$ и $p=1$ получаем минимум и максимум. Именно это правило используется в задачах статьи.

Три примера

1. Для 0, 10, 20, 30, 40 первый квартиль имеет позицию $1+4\cdot0.25=2$ и равен 10; третий — позиции 4 и равен 30.
2. Для 2, 4, 6, 8 позиция первого квартиля $1+3\cdot0.25=1.75$. Интерполируем: $2+0.75(4-2)=3.5$.
3. Для 0, 10, 20 квантиль уровня 0.9 имеет позицию 2.8. Получаем $10+0.8(20-10)=18$; он не обязан быть наблюдавшимся значением.

Интерпретация и ошибки

Не путайте 90-й процентиль со значением «90% от максимума». При совпадающих данных или дискретном законе ровно указанная доля ниже порога может не получиться из-за скачка. Указывайте метод, когда сравниваете результаты разных программ. Школьная работа с квартилями относится к углублённому материалу; интерполяция R7 — явно выбранное вычислительное соглашение.