Школьный6 минут3 задачи с решениями

Плотность вероятности

Почему вероятность — площадь, а не высота графика, и как проверить корректность плотности.

Перед чтением

Что вы разберёте в этой статье

Почему вероятность — площадь, а не высота графика, и как проверить корректность плотности.

Простыми словами

Случайная величина ставит каждому исходу в соответствие число. Её распределение показывает не только возможные значения, но и вероятность каждого из них.

Основные понятия

плотность
PDF
площадь

Как читать формулы

Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.

Как закрепить

После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.

Раздел: Случайные величины · школьная привязка: 11 класс

Плотность — вероятность на единицу длины

Плотность $f(x)$ описывает, насколько вероятностная масса сосредоточена около значения $x$ . Вероятность интервала — интеграл плотности, то есть площадь под графиком. При непрерывности $f$ и малом положительном $h$ приближённо $P(x<X<x+h)\approx f(x)h$ .

Плотность неотрицательна, а её интеграл по всей прямой равен 1. Значение $f(x)$ может превышать единицу: ограничена площадь, не высота. Если $X$ измеряется в секундах, плотность имеет размерность «на секунду». Отдельная точка имеет нулевую вероятность даже там, где плотность положительна.

Как задавать функцию полностью

Нужно указать не только формулу, но и область её действия. Запись $f(x)=2x$ без ограничения не годится: при отрицательных $x$ она отрицательна. Формула $2x$ на $[0,1]$ и ноль вне этого отрезка — корректная плотность, поскольку интеграл равен 1. На концах можно изменить отдельные значения без изменения вероятностей.

Три примера

Для равномерной величины на $[0,0.5]$ плотность равна 2. Вероятность интервала $[0.1,0.2]$ равна $2\cdot0.1=0.2$ , а не 2.
Если $f(x)=2x$ на $[0,1]$ , то $P(X\le0.5)=\int_0^{0.5}2x\,dx=0.25$ . Равные по длине интервалы здесь не равновероятны.
Постоянная плотность $c$ на $[2,6]$ должна удовлетворять $4c=1$ , значит $c=1/4$ . Вне отрезка она равна нулю.

Ошибки

Нельзя суммировать высоты непрерывного графика как массы дискретного закона: нужно учитывать ширину интервала. Функция распределения получается накопленным интегралом плотности. Обратное равенство $f=F'$ действует в соответствующем смысле там, где производная существует; скачки функции распределения нельзя описать обычной плотностью.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

f(x)\ge0,\qquad\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1

Формула словами: Условия плотности; значения в отдельных точках на распределение не влияют.

Как применять: Перечислите значения величины, назначьте им вероятности и проверьте, что сумма вероятностей равна единице.

P(a<X<b)=\int_a^b f(x)\,dx

Формула словами: Площадь под плотностью на интервале.

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Простой

Плотность постоянна на [0,5] и равна нулю вне отрезка. Найдите её высоту.

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Средний

Плотность равна 3 на [0,1/3] и нулю вне. Найдите вероятность интервала [0,1/6].

Сложный

Плотность f(x)=2x на [0,1] и 0 вне. Найдите P(0.5<X<1).

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.