Взвешенное среднее

Что делает вес

Взвешенное среднее учитывает, что значения могут представлять разное число наблюдений или иметь разную заранее заданную значимость. Для значений $x_i$ и неотрицательных весов $w_i$ складывают произведения $w_ix_i$ и делят на сумму весов. При одинаковых положительных весах получается обычное среднее арифметическое.

Если вес — частота, произведение восстанавливает вклад одинаковых наблюдений в общую сумму. Если вес — доля, сумма всех весов равна 1 и дополнительное деление ничего не меняет. Значение с нулевым весом в результат не входит.

Объединение групп

Среднее двух групп нельзя обычно усреднять пополам. Весом группового среднего должен быть размер группы. Так восстанавливается сумма всех наблюдений: среднее группы, умноженное на её размер. Для групп с неизвестными размерами общее среднее по одним только средним не определяется.

Три примера

1. Оценка 3 встретилась дважды, оценка 5 — трижды. Среднее $(2\cdot3+3\cdot5)/5=21/5=4.2$.
2. В группе из 10 человек средний результат 60, в группе из 30 — 80. Общее среднее $(10\cdot60+30\cdot80)/40=75$, а не 70.
3. Итог состоит из проекта с весом 0.4 и теста с весом 0.6. При результатах 90 и 70 итог равен $0.4\cdot90+0.6\cdot70=78$.

Проверки

При неотрицательных весах среднее лежит между минимальным и максимальным значением с положительным весом. Умножение всех весов на одну положительную константу результат не меняет. Отрицательные веса могут выводить результат за диапазон, поэтому не входят в обычное определение здесь. Проценты следует переводить в доли или делить на общую сумму процентных весов, но не смешивать шкалы.