Среднее гармоническое

Среднее обратных величин

Среднее гармоническое положительных чисел $x_1,\ldots,x_n$ определяется как $H=n/(1/x_1+\cdots+1/x_n)$. Оно полезно, когда суммируются величины, обратно пропорциональные данным числам. Наиболее знакомая ситуация — средняя скорость при прохождении равных расстояний с разными скоростями.

Скорость всего пути — весь путь, делённый на всё время. Для равных участков длины $d$ времена равны $d/v_i$. Поэтому общая скорость $nd/\sum_i(d/v_i)$ как раз равна гармоническому среднему скоростей. Длина сокращается, но условие равенства расстояний не исчезает.

Когда нужна другая формула

При равных временах движения средняя скорость является арифметическим средним. При неодинаковых расстояниях следует сначала сложить расстояния и времена или использовать взвешенное гармоническое среднее с весами расстояний. Здесь рассматриваем положительные значения: остановка с нулевой скоростью и заданным временем требует отдельного учёта.

Три примера

1. Половину пути проехали со скоростью 30, половину — 60 км/ч. Средняя скорость $2/(1/30+1/60)=40$ км/ч, а не 45.
2. Гармоническое среднее чисел 2 и 6 равно $2/(1/2+1/6)=3$. Оно ближе к меньшему числу, чем арифметическое среднее 4.
3. Три равных участка пройдены со скоростями 20, 30 и 60 км/ч. Сумма обратных скоростей $1/20+1/30+1/60=1/10$, итоговая скорость 30 км/ч.

Ошибки и проверка

Нужно выяснять, что в задаче одинаково: время, расстояние, количество товара или денежная сумма. Для положительных чисел гармоническое среднее не превышает арифметического, а равенство достигается при одинаковых значениях. Это полезная проверка, но не основание выбирать формулу без модели задачи. Тема относится к углублённому материалу 7 класса.