Дисперсия случайной величины

Средний квадрат отклонения

Дисперсия измеряет разброс распределения вокруг математического ожидания. Из каждого значения вычитают ожидание, возводят отклонение в квадрат и усредняют по вероятностям. Квадраты неотрицательны, поэтому дисперсия не может быть отрицательной.

Почему не усреднить обычные отклонения? Их положительные и отрицательные вклады взаимно уничтожаются: $E[X-E[X]]=0$. Квадрат сохраняет величину отклонений и усиливает вклад далёких значений. Если $X$ измеряется в метрах, дисперсия выражается в квадратных метрах.

Свойства и ограничения

При конечном втором моменте $\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2$. Для независимых величин с конечными дисперсиями дисперсия суммы равна сумме дисперсий. При зависимости появляется дополнительный член, поэтому простое сложение не универсально. Дисперсия равна нулю тогда и только тогда, когда величина постоянна с вероятностью 1.

Три примера

1. $X$ равно 0 или 2 с вероятностями по $1/2$. Ожидание 1, квадраты отклонений оба равны 1, значит дисперсия 1.
2. Индикатор с вероятностью единицы $p=0.3$ имеет $E[X]=E[X^2]=0.3$. Дисперсия $0.3-0.09=0.21$.
3. Если $\operatorname{Var}(X)=4$, то $\operatorname{Var}(3X+10)=9\cdot4=36$. Прибавление 10 ничего не добавляет к разбросу.

Не путайте объекты

Дисперсия теоретического закона использует вероятности. Дисперсия наблюдаемого набора использует частоты и делитель $n$; исправленная оценка неизвестной дисперсии — делитель $n-1$. Это разные задачи. При вычислениях с почти одинаковыми большими числами формула «среднее квадратов минус квадрат среднего» может терять точность; прямое центрирование устойчивее.