Школьный6 минут3 задачи с решениями

Среднеквадратическое отклонение

Разброс в исходных единицах, изменение масштаба и отличие от ошибки среднего.

Перед чтением

Что вы разберёте в этой статье

Разброс в исходных единицах, изменение масштаба и отличие от ошибки среднего.

Простыми словами

Статистика сжимает набор наблюдений до нескольких понятных характеристик. Среднее описывает общий уровень, показатели разброса — насколько сильно значения отличаются друг от друга.

Основные понятия

стандартное отклонение
СКО
сигма

Как читать формулы

Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.

Как закрепить

После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.

Раздел: Статистика и данные · школьная привязка: 8, 11 класс

Возвращаем исходные единицы

Среднеквадратическое, или стандартное, отклонение — квадратный корень из дисперсии. Дисперсия удобна для алгебры, но имеет квадрат единицы измерения. Корень возвращает исходную шкалу: для длины в сантиметрах стандартное отклонение тоже измеряется в сантиметрах.

Величина $\sigma$ неотрицательна. Она равна нулю для постоянной случайной величины и растёт при растяжении шкалы. Для данных сначала необходимо выбрать, какая дисперсия используется: описательная с делителем $n$ или исправленная с $n-1$ . Корень наследует это соглашение.

Что значит «типичный разброс»

Стандартное отклонение служит масштабом отклонений, но не максимальным расстоянием от среднего. Правило о примерно 68% внутри одного стандартного отклонения относится к нормальному распределению, а не к любому набору. Без знания формы закона универсальные гарантии дают более грубые неравенства.

Три примера

Если дисперсия длины равна 9 квадратных сантиметров, стандартное отклонение равно 3 сантиметрам.
У величины $X$ стандартное отклонение 2. Для $Y=-3X+7$ оно равно $|-3|\cdot2=6$ . Отрицательное стандартное отклонение невозможно.
В числовом наборе 2, 2, 6, 6 среднее равно 4, описательная дисперсия равна 4, стандартное отклонение — 2. Все четыре значения здесь отклонены ровно на одну такую величину.

Не смешивайте с ошибкой среднего

Стандартное отклонение данных описывает отдельные наблюдения. Стандартная ошибка среднего характеризует разброс средних между повторными выборками; при независимых одинаково распределённых наблюдениях она равна $\sigma/\sqrt n$ . Увеличение размера выборки не обязано уменьшать разброс самих объектов, хотя среднее обычно становится точнее. Различие особенно важно при подписи планок погрешности на графиках.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}

Формула словами: Неотрицательный квадратный корень из дисперсии; единицы совпадают с единицами X.

Как применять: Уточните объём набора, единицы измерения и вид характеристики; не смешивайте сумму значений, среднее и отклонения от среднего.

\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X

Формула словами: Сдвиг не влияет, масштаб действует своим модулем.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Описательная статистика Стандартное отклонение

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Простой

Дисперсия случайной величины равна 25. Найдите стандартное отклонение.

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Средний

Стандартное отклонение X равно 3. Найдите стандартное отклонение 4X−100.

Сложный

Независимые X и Y имеют стандартные отклонения 3 и 4. Найдите стандартное отклонение X+Y.

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.