Дисперсия набора и исправленная оценка

Один числитель, две задачи

Для числового набора вычисляют среднее $\bar x$, отклонения от него и сумму квадратов отклонений. Деление этой суммы на $n$ даёт описательную дисперсию набора: средний квадрат расстояния наблюдений от их среднего. Она определена и для одного наблюдения, когда равна нулю.

Если набор — случайная выборка, по нему могут оценивать неизвестную дисперсию всей модели. Для независимых одинаково распределённых наблюдений с конечной дисперсией делитель $n$ даёт в среднем заниженную оценку. Поправка $n/(n-1)$ приводит к исправленной оценке $S^2$ с делителем $n-1$.

Почему появляется n−1

Среднее уже вычислено из тех же данных. После его вычитания отклонения суммируются в ноль: последнее определяется остальными. Строгое обоснование поправки даёт равенство ожидаемой суммы квадратов $(n-1)\sigma^2$. Это не правило «в статистике всегда делить на $n-1$»: выбор зависит от цели, а школьное описание набора использует $n$.

Три примера

1. Для данных 1, 3 среднее 2, сумма квадратов 2. Описательная дисперсия $v=2/2=1$, исправленная оценка $S^2=2/1=2$.
2. Для 2, 4, 6 среднее 4, сумма квадратов 8. Получаем $v=8/3$, а $S^2=4$.
3. Для одного значения 9 описательная дисперсия ноль. Исправленная оценка не определена: делитель $n-1=0$, и информации о разбросе модели недостаточно.

Предосторожности

Обе величины неотрицательны и измеряются в квадратных единицах. Несмещённость $S^2$ не переносится автоматически на $\sqrt{S^2}$ как оценку стандартного отклонения. Зависимые наблюдения, неравные веса и сложный план выборки требуют отдельного анализа. Всегда подписывайте выбранный делитель в ответе и проверяйте настройку вычислителя.