Неравенство Чебышёва

Отклонение в обе стороны

Неравенство Чебышёва ограничивает вероятность того, что случайная величина отклонится от своего ожидания не менее чем на $a$. При конечной дисперсии $\sigma^2$ эта вероятность не больше $\sigma^2/a^2$. Модуль учитывает одновременно слишком большие и слишком маленькие значения.

Распределение не обязано быть нормальным, симметричным или непрерывным. Требуются конечная дисперсия и положительный порог. При $a=k\sigma$ и $\sigma>0$ оценка превращается в $1/k^2$. Как и любая верхняя оценка вероятности, она может быть заменена на минимум с единицей.

Идея доказательства

Величина $(X-\mu)^2$ неотрицательна, а её ожидание равно дисперсии. Применяем неравенство Маркова с порогом $a^2$. События $(X-\mu)^2\ge a^2$ и $|X-\mu|\ge a$ совпадают, поэтому получаем требуемую формулу.

Три примера

1. При дисперсии 4 вероятность отклонения от среднего не менее чем на 6 не больше $4/36=1/9$.
2. Для любого закона с положительной конечной дисперсией вероятность отклонения меньше двух стандартных отклонений не менее $1-1/4=3/4$. Это гарантия, а не точная доля.
3. Среднее 100 независимых одинаково распределённых величин с дисперсией 9 имеет дисперсию 0.09. Вероятность отклонения среднего не менее чем на 1 не превосходит 0.09.

Ошибки применения

Нельзя подставлять стандартное отклонение вместо дисперсии в числитель. Формула описывает истинные параметры закона; замена их выборочными оценками не сохраняет автоматически ту же гарантию. При нулевой дисперсии величина постоянна почти наверное, и вероятность положительного отклонения равна нулю. В школьной программе формальное неравенство относится к углублённому уровню.