Неравенство Маркова

Как среднее ограничивает хвост

Пусть случайная величина $X$ неотрицательна и имеет конечное ожидание. Тогда вероятность достичь положительного порога $a$ не превосходит $E[X]/a$. Полный закон не требуется: достаточно одного числа — среднего. Поэтому оценка универсальна, но нередко груба.

Идея доказательства проста. На событии $X\ge a$ величина не меньше $a$, а вне события не меньше нуля. Значит $X\ge a\,\mathbf1_{\{X\ge a\}}$. Берём ожидания и получаем $E[X]\ge aP(X\ge a)$. Делить можно, потому что $a>0$.

Что означает ответ

Неравенство даёт верхнюю границу, не точную вероятность. Если отношение больше 1, содержательнее сказать «не более 1»: дополнительных сведений оценка не дала. Если известно $X\ge b$, можно применить Маркова к $X-b$, но новый порог тоже должен быть положительным.

Три примера

1. Неотрицательное число заявок имеет ожидание 4. Вероятность получить не менее 20 заявок не больше $4/20=0.2$.
2. Неотрицательное время ожидания имеет среднее 3 минуты. Вероятность ждать не менее 12 минут не больше $3/12=1/4$. Распределение времени может быть любым с указанными свойствами.
3. Величина равна 10 с вероятностью 0.2 и нулю иначе. Её ожидание 2, а $P(X\ge10)=0.2=2/10$: граница достигается точно.

Почему знак важен

Если $X$ равно $-1$ или 1 с равными вероятностями, ожидание ноль, но $P(X\ge1)=1/2$. Применение Маркова к самому $X$ дало бы ложный ноль, потому что неотрицательность нарушена. Можно применять его к $|X|$ или квадрату при существовании нужного ожидания. Именно квадрат центрированной величины приводит к неравенству Чебышёва.